【題目】如圖,已知ABCD,CE,BE的交點為E,現(xiàn)作如下操作:

第一次操作,分別作∠ABE和∠DCE的平分線,交點為E1

第二次操作,分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線,交點為E2

第三次操作,分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線,交點為E3……

n次操作,分別作∠ABEn1和∠DCEn1的平分線,交點為En.

(1)如圖①,求證:∠EBC;

(2)如圖②,求證:∠E1E;

(3)猜想:若∠Enb°,求∠BEC的度數(shù).

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析;(3BEC2nb°.

【解析】試題分析:(1)先過EEF∥AB,根據(jù)AB∥CD,得出AB∥EF∥CD,再根據(jù)平行線的性質,得出∠B=∠1,∠C=∠2,進而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE;

2)先根據(jù)∠ABE和∠DCE的平分線交點為E1,運用(1)中的結論,得出∠CE1B=ABE1+DCE1= ABE+DCE=BEC;同理可得∠BE2C=ABE2+DCE2=ABE1+DCE1=CE1B=BEC;

3)根據(jù)∠ABE2和∠DCE2的平分線,交點為E3,得出∠BE3C=BEC;…據(jù)此得到規(guī)律∠En=BEC,最后求得∠BEC的度數(shù).

試題解析:1)如圖①,過EEF∥AB,

∵AB∥CD,

∴AB∥EF∥CD,

∴∠B=∠1,∠C=∠2

∵∠BEC=∠1+∠2,

∴∠BEC=∠ABE+∠DCE;

2)如圖2,∵∠ABE和∠DCE的平分線交點為E1,

∴由(1)可得,

CE1B=ABE1+DCE1=ABE+DCE=BEC

∵∠ABE1和∠DCE1的平分線交點為E2,

∴由(1)可得,

BE2C=ABE2+DCE2=ABE1+DCE1=CE1B=BEC;

3)如圖2,∵∠ABE2和∠DCE2的平分線,交點為E3

∴∠BE3C=ABE3+DCE3=ABE2+DCE2=CE2B=BEC;

以此類推,∠En=BEC

∴當∠En=α度時,∠BEC等于2nα度.

練習冊系列答案
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圖①: ;

圖②: ;

圖③: ;

圖④: .

(2)在(1)中的4個結論中選出一個你喜歡的結論加以證明.

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