Question

閱讀下面的解題過程，然后解答后面的問題．

　　題目：如圖(1)，已知正方形ABCD中，點M是AB的中點，點E是AB延長線上的一點，MN⊥DM交∠CBE的平分線BN于點N．試說明MD＝MN．

　　解：在AD上取一點F，使AF＝AM，連結MF．

　　因為ABCD是正方形，

　　所以DF＝MB，∠1＋∠AMD＝90°．

　　因為DM⊥MN，

　　所以∠AMD＋∠2＝90°．

　　所以∠1＝∠2．

　　因為BN平分∠CBE，

　　所以∠MBN＝135°＝∠DFM．

　　所以△DFM≌△MBN．

　　所以DM＝MN．

(1)在上述說理過程中，“點M是AB的中點”這個條件沒有用到，若將這個條件改為“點M是AB上的任意一點”，或“點M是AB延長線上的任意一點”，或“點M是BA延長線上的任意一點”，則結論“DM＝MN”還成立嗎？請說明理由；

(2)如圖(2)，在正三角形ABC中，若AE＝CD，則∠BFE＝60°；如圖(3)，在正方形ABCD中，若DE＝CF，則∠AGF＝90°．這里的兩個結論“∠BFE＝60°”和“∠AGF＝90，分別與題目的背景條件“正三角形ABC”和“正方形ABCD”有關．你能否改編一道題目，改變上述題目的背景“正方形ABCD”，并相應改變條件“MN⊥DM”，而其余條件與結論不變？請說明所編題目的正確性．

Answer 1

答案：
解析：

(1)結論成立．如圖答(a)、圖(b)和圖(c)，但當點M是BA的延長線上任意一點時，點N是MN⊥DM與∠CBE的平分線的反向延長線的交點，如圖(c)所添輔助線均為AF＝AM．理由與閱讀材料中給出的理由相同． 　　(2)改編題目為：①如圖答(a)，點M是∠A＝60°的菱形ABCD的邊AB上的任意一點，∠DMN＝60°，MN交BC于點N，試說明DM＝MN．②如圖答(b)，點M是正三角形ABC的邊AB上的任意一點，∠CMN＝60°，MN交∠ABC的外角平分線于點N．試說明MN＝CN．這兩題的說明理由也與前面一樣．