Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是AB的中點，連接CD，過B作BE⊥CD交CD的延長線于點E，連接AE，過A作AF⊥AE交CD于點F.

（1）求證：AE=AF；  （2）求證：CD=2BE+DE.

Answer 1

（1）

∵∠BAC=90°, AF⊥AE

∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°

∴∠EAB=∠FAC                 

∵BE⊥CD

∴∠BEC=90°

∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°

∵∠EDB=∠ADC

∴∠EBD =∠ACD               

∵AB=AC

∴△AEB≌△AFC

∴ AE=AF                     

（2）

作AG⊥EC,垂足為G

∵AG⊥EC, BE⊥CD

∴∠BED=∠AGD=90°          

∵點是AB的中點

∴BD=AD                     

∵∠BED=∠AGD

∴△BED≌△AGD                   

∴ED=GD,BE=AG             

∵AE=AF

∴∠AEF=∠AFE=45°

∴∠FAG=45°

∴∠GAF=∠GFA

∴GA=GF                     

∴CF=BE=AG=GF                    

∵CD=DG+GF+FC

∴CD=DE+BE+BE

∴CD=2BE+DE