Question

已知，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在直線BC上，點(diǎn)F在直線AB上（點(diǎn)E、F不與三角形頂點(diǎn)重合），AF=BE，連結(jié)CF和AE，將線段CF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CG，連結(jié)AG．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在線段BC與線段AB上時(shí)．
①求證：AE=CF；
②求證：四邊形AECG是平行四邊形；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在線段CB與線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)猜想四邊形AECG是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）①要證AE=CF，只需證到△AEB≌△CFA即可；
②要證四邊形AECG是平行四邊形，只需證到AE=CF=CG，AE∥CG即可；
（2）只需借鑒（1）中的解題經(jīng)驗(yàn)即可解決問(wèn)題．

解答：證明：（1）如圖1，
①∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°．
在△AEB和△CFA中，

AB=AC ∠B=∠FAC BE=AF

，
∴△AEB≌△CFA（SAS），
∴AE=CF；
②∵△AEB≌△CFA，
∴∠EAB=∠FCA．
∵CF=CG，∠BAC=∠FCG=60°，
∴AE=CF=CG，∠EAC=∠GCA，
∴AE∥CG，
∴四邊形AECG是平行四邊形；

（2）四邊形AECG是平行四邊形．
理由：如圖2，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠FAC=∠EBA=120°．
在△AEB和△CFA中，

AB=AC ∠ABE=∠CAF BE=AF

，
∴△AEB≌△CFA（SAS），
∴AE=CF，∠EAB=∠FCA．
∵CF=CG，∠BAC=∠FCG=60°，
∴AE=CF=CG，∠EAC=∠GCA，
∴AE∥CG，
∴四邊形AECG是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，對(duì)于條件不變，僅僅是圖形位置發(fā)生變化的問(wèn)題探究，通�？山梃b已有的解題經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題．