Question

已知：如圖，直線PA交⊙O于A、E兩點，PA的垂線DC切⊙O于點C，過A點作⊙O的直徑AB．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若DC=4，DA=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）由弦切角定理知，∠DCA=∠B，故Rt△ADC∽Rt△ACB，則有∠DAC=∠CAB；
（2）由勾股定理求得AC的值后，由（1）中Rt△ADC∽Rt△ACB得

AB

AC

=

AC

AD

，即可求得AB的值．

解答：（1）證明：方法一：連接BC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵DC切⊙O于C點，
∴∠DCA=∠B，
∵DC⊥PE，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；
方法二：連接CO，
因為DC與⊙O相切，
所以DC⊥CO，
又因為PA⊥CD，
所以CO∥PE，
所以∠ACO=∠CAO=∠CAD，即AC平分∠DAB
（2）解：在Rt△ADC中，AD=2，DC=4，
∴AC=

AD2+DC2

=2

5

，
由（1）得Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴

AB

AC

=

AC

AD

，
即AB=

AC2

AD

=

20

2

=10，
∴⊙O的直徑為10．

點評：本題的解法不唯一，可利用弦切角定理，直徑對的圓周角是直角，切線的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理求解．