Question

已知：如圖，直線PA交⊙O于A、E兩點(diǎn)，PA的垂線DC切⊙O于點(diǎn)C，過(guò)A點(diǎn)作⊙O的直徑AB．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若DC=4，DA=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由弦切角定理知，∠DCA=∠B，故Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，則有∠DAC=∠CAB；
（2）由勾股定理求得AC的值后，由（1）中Rt△ADC∽R(shí)t△ACB得=，即可求得AB的值．
解答：（1）證明：方法一：連接BC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵DC切⊙O于C點(diǎn)，
∴∠DCA=∠B，
∵DC⊥PE，
∴Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，
∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；
方法二：連接CO，
因?yàn)镈C與⊙O相切，
所以DC⊥CO，
又因?yàn)镻A⊥CD，
所以CO∥PE，
所以∠ACO=∠CAO=∠CAD，即AC平分∠DAB
（2）解：在Rt△ADC中，AD=2，DC=4，
∴AC==2，
由（1）得Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，
∴=，
即AB===10，
∴⊙O的直徑為10．
點(diǎn)評(píng)：本題的解法不唯一，可利用弦切角定理，直徑對(duì)的圓周角是直角，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求解．