Question

15、一支科學考察隊前往某條河流的上游去考察一個生態(tài)區(qū)，他們以每天17km的速度出發(fā)，沿河岸向上游行進若干天后到達目的地，然后在生態(tài)區(qū)考察了若干天，完成任務后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊行進了24km后回到出發(fā)點，試問：科學考察隊的生態(tài)區(qū)考察了多少天？

Answer 1

分析：設考察隊到生態(tài)區(qū)去用了x天，返回用了y天，考察用了z天則x+y+z=60，
根據(jù)題目說明可列方程17x-25y=24-25，即25y-17x=1．①
這里x、y是正整數(shù)，現(xiàn)設法求出①的一組合題意的解，然后計算出z的值．
為此，用輾轉(zhuǎn)相除法先求出①的一組特殊解（x₀，y₀），（這里x₀，y₀可以是負整數(shù)）．即x₀=-3，y₀=-2．
下面再求出①的合題意的解．再由不定方程的知識可知令x=-3+25t，y=-2+17t，則x+y=42t-5，t為整數(shù)．
按題意0＜x+y＜60，此時t可確定，x+y的值即可確定，那么z值就確定．

解答：解：設考察隊到生態(tài)區(qū)去用了x天，返回用了y天，考察用了z天
則由題意得  x+y+z=60，
17x-25y=24-25，即25y-17x=1．①
先求出①的一組特殊解（x₀，y₀），（這里x₀，y₀可以是負整數(shù)）．用輾轉(zhuǎn)相除法．
25=l×17+8，17=2×8+1，故1=17-2×8=17-2×（25-17）=3×17-2×25．
與①的左端比較可知，x₀=-3，y₀=-2．
由不定方程的知識可知，①的一切整數(shù)解可表示為x=-3+25t，y=-2+17t，
∴x+y=42t-5，t為整數(shù)．按題意0＜x+y＜60，故僅當t=1時才合題意，這時x+y=42-5=37，
∴z=60-（x+y）=23．
答：考察隊在生態(tài)區(qū)考察的天數(shù)是23天．

點評：本題考查二元一次方程的應用．本題涉及到的未知量多，最終轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來解，希望學生仔細領會所用方法．