Question

10．如圖，將一個(gè)等腰Rt△ABC對折，使∠A與∠B重合，展開后得折痕CD，再將∠A折疊，使C落在AB上的點(diǎn)F處，展開后，折痕AE交CD于點(diǎn)P，連接PF、EF，下列結(jié)論：①tan∠CAE=$\sqrt{2}$-1；②圖中共有4對全等三角形；③若將△PEF沿PF翻折，則點(diǎn)E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S_{四邊形DFEP}=S_△APF．正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①正確．作EM∥AB交AC于M．設(shè)CM=CE=a，則ME=AM=$\sqrt{2}$a，根據(jù)tan∠CAE=$\frac{CE}{AC}$即可判斷．
②正確．根據(jù)△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF即可判斷．
③正確．由△PEC≌△PEF得到∠PFA=∠PFE=45°，由此即可判斷．
④正確．只要證明∠CPE=∠CEP=67.5°，
⑤錯(cuò)誤．假設(shè)結(jié)論成立，推出矛盾即可．

解答 解：①正確．作EM∥AB交AC于M．
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠CAE=∠BAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=22.5°，
∴∠MEA=∠EAB=22.5°，
∴∠CME=45°=∠CEM，設(shè)CM=CE=a，則ME=AM=$\sqrt{2}$a，
∴tan∠CAE=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{a}{a+\sqrt{2}a}$=$\sqrt{2}$-1，故①正確，
②正確．△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF，故②正確，
③正確．∵△PEC≌△PEF，
∴∠PCE=∠PFE=45°，
∵∠EFA=∠ACE=90°，
∴∠PFA=∠PFE=45°，
∴若將△PEF沿PF翻折，則點(diǎn)E一定落在AB上，故③正確．
④正確．∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°，∠CEP=90°-∠CAE=67.5°，
∴∠CPE=∠CEP，
∴CP=CE，故④正確，
⑤錯(cuò)誤．∵△APC≌△APF，
∴S_△APC=S_△APF，
假設(shè)S_△APF=S_{四邊形DFPE}，則S_△APC=S_{四邊形DFPE}，
∴S_△ACD=S_△AEF，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，S_△AEF=S_△AEC≠$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴矛盾，假設(shè)不成立．
故⑤錯(cuò)誤．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、翻折變換，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性推出相等的線段、角，學(xué)會(huì)通過計(jì)算證明角相等，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．