Question

如圖，AB為⊙O直徑，且弦CD⊥AB于，過(guò)點(diǎn)的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．
（1）若M是AD的中點(diǎn)，連接ME并延長(zhǎng)ME交BC于N．求證：MN⊥BC．
（2）若cos∠C=

4

5

，DF=3，求⊙O的半徑．
（3）猜測(cè)線段AE、BE、CN、CB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由弦CD⊥AB，M是AD的中點(diǎn)，得到EM為直角三角形AED斜邊上的中線，則MA=ME，∠A=∠AEM，根據(jù)對(duì)頂角相等和同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等得到∠AEM=∠BEN，∠ADE=∠EBN，則∠BEN+∠EBN=∠A+∠ADE=90°，則∠ENB=90°，即可得到結(jié)論；
（2）連BD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ADB=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABF=90°，利用相似三角形的判定易得Rt△FBD∽R(shí)t△FAB，則FB：AF=DF：BF，即FB²=FD•FA，根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等得∠A=∠C，則cos∠A=

4

5

，在Rt△ABF中，cos∠A=

AB

AF

=

4

5

，不妨設(shè)AB=4x，則AF=5x，利用勾股定理可計(jì)算出BF=3x，則（3x）²=3•5x，解得x=

5

3

，易得到AB的長(zhǎng)，即可得到⊙O的半徑；
（3）由AB⊥CD，根據(jù)垂徑定理得到CE=DE，易證得Rt△AED∽R(shí)t△DEB，Rt△CEB∽R(shí)t△CNE，則AE：DE=DE：BE，即DE²=AE•BE，CE：CN=CB：CE，即CE²=CN•CB，則可得AE•BE=CN•CB．

解答：（1）證明：∵弦CD⊥AB，M是AD的中點(diǎn)，
∴MA=ME，
∴∠A=∠AEM，
而∠AEM=∠BEN，∠ADE=∠EBN，
∴∠BEN+∠EBN=∠A+∠ADE=90°，
∴∠ENB=90°，
∴MN⊥BC；

（2）解：連BD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵FB為⊙O的切線，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∴Rt△FBD∽R(shí)t△FAB，
∴FB：AF=DF：BF，即FB²=FD•FA，
∵∠A=∠C，cos∠C=

4

5

，
∴cos∠A=

4

5

，
在Rt△ABF中，cos∠A=

AB

AF

=

4

5

，不妨設(shè)AB=4x，則AF=5x，
∴BF=

(5x)2-(4x)2

=3x，
∴（3x）²=3•5x，解得x₁=

5

3

，x₂=0
∴x=

5

3

，
∴AB=4x=

20

3

，
∴⊙O的半徑為

10

3

；

（3）解：線段AE、BE、CN、CB之間的數(shù)量關(guān)系為AE•BE=CN•CB．理由如下：
∵AB⊥CD，
∴CE=DE，∠AED=90°，
而∠ADB=90°，
∴∠A=EDB，
∴Rt△AED∽R(shí)t△DEB，
∴AE：DE=DE：BE，即DE²=AE•BE①，
又∵∠CEB=∠CNE=90°，
∴Rt△CEB∽R(shí)t△CNE，
∴CE：CN=CB：CE，即CE²=CN•CB②，
由①②得AE•BE=CN•CB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的��；圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角；運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)可得到線段的比例關(guān)系；運(yùn)用勾股定理和三角函數(shù)進(jìn)行幾何計(jì)算．