Question

運(yùn)用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為面積法．
（1）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC邊上的高為h，M是底邊BC上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到腰AB、AC的距離分別為h₁、h₂．請用面積法證明：h₁+h₂=h；

（2）當(dāng)點(diǎn)M在BC延長線上時(shí)，h₁、h₂、h之間的等量關(guān)系式是______；（直接寫出結(jié)論不必證明）
（3）如圖2在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線l₁：y=x+3、l₂：y=-3x+3，若l₂上的一點(diǎn)M到l₁的距離是1，請運(yùn)用（1）、（2）的結(jié)論求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AM，△ABC被分成△ABM和△ACM兩個(gè)三角形，根據(jù)三角形的面積公式底乘以高除以2分別求解，再根據(jù)S_△ABC=S_△ABM+S_△AMC整理即可得到h₁+h₂=h．
（2）根據(jù)（1）的方法，利用三角形面積的關(guān)系求解即可；
（3）先根據(jù)直線關(guān)系式求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)利用勾股定理求出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，再分點(diǎn)M在線段BC上和CB的延長線上兩種情況討論求解．
解答：解：（1）∵S_△ABC=S_△ABM+S_△AMC，S_△ABM=×AB×ME=×AB×h₁，S_△AMC=×AC×MF=×AC×h₂，
又∵S_△ABC=×AC×BD=×AC×hAB=AC，
∴×AC×h=×AB×h₁+×AC×h₂，
∴h₁+h₂=h．

（2）h₁-h₂=h．

（3）在y=x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=-4，則：
A（-4，0），B（0，3）同理求得C（1，0），
AB==5，AC=5，
所以AB=AC，即△ABC為等腰三角形．
①當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，由h₁+h₂=h得：
1+M_y=OB，M_y=3-1=2，把它代入y=-3x+3中求得：M_x=，
∴M（，2）；
②當(dāng)點(diǎn)M在CB延長線上時(shí)，由h₁-h₂=h得：M_y-1=OB，M_y=3+1=4，
把它代入y=-3x+3中求得：M_x=-，
∴M（-，4），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，2）或（，4）．
點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵在于利用等腰三角形兩邊相等的性質(zhì)和三角形面積的關(guān)系，利用面積求解在幾何解答題中經(jīng)常用到，同學(xué)們在答題時(shí)一定要靈活運(yùn)用．