Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中三個(gè)點(diǎn)A（-8，0）、B（2，0）、C(

16

3

，0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．以AB為直徑的⊙M與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D．
（1）求直線CD的解析式；
（2）求證：直線CD是⊙M的切線；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，且AE與⊙M相交于點(diǎn)F，求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是AE和AF．

Answer 1

分析：（1）已知A、B的坐標(biāo)就可以求出直徑AB的長(zhǎng)，弦心距MB的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理就可以求出BD的長(zhǎng)，即得到D的坐標(biāo)．根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出CD的解析式．
（2）連接MD，根據(jù)M，C，D的坐標(biāo)就可以得△CDM的三邊的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理證明三角形是直角三角形．
（3）易證△CDM∽△CEA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，可以求出AE，再證明Rt△CDM∽R(shí)t△BFA，就可以得到AF，則所求的一元二次方程就可以得到．

解答：（1）解：∵A（-8，0），B（2，0），
∴⊙M的圓心為（-3，0），且⊙M的半徑為5．
連接MD．
在Rt△OMD中，
OD=

MD2-OM2

=

52-32

=4，
∴D（0，-4）．  （2分）
設(shè)所求直線CD的解析式為y=kx+b，則由C（

16

3

，0）、D（0，-4）兩點(diǎn)，
得

16 3 k+b=0 b=-4

，
解得

k= 3 4 b=-4

．
故所求直線CD的解析式為y=

3

4

x-4． （4分）

（2）證明：在Rt△CDO中，CD²=OD²+OC²=4²+（

16

3

）²=

400

9

．
在△CDM中，MC=3+

16

3

=

25

3

，DM=5，
∴DM²+CD²=25+

400

9

=

625

9

．
又MC2=(

25

3

)2=

625

9

，
∴MD²+CD²=MC²．
∴△CDM是直角三角形，且
∠MDC=90°，CD經(jīng)過(guò)半徑MD的外端點(diǎn)D，
∴直線CD是⊙M的切線．  （6分）

（3）解：由已知，AE⊥CD，由（2），MD⊥CD，
∴MD∥AE，
∴△CDM∽△CEA．
∴

CM

CA

=

DM

AE

，即

25 3

8+ 16 3

=

5

AE

，解得AE=8．（7分）
連接BF．則∠AFB=90°．
又∠MDC=90°，∠CMD=∠CAE，
∴Rt△CDM∽R(shí)t△BFA．
∴

CM

MD

=

BA

AF

，即

25 3

3

=

10

AF

，解得AF=6．
故所求的一個(gè)一元二次方程是x²-14x+48=0．（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等．