Question

如圖，在直角梯形OABD中，DB∥OA，∠OAB=90°，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，對(duì)角線OB，AD相交于點(diǎn)M．OA=2，AB=2

3

，BM：MO=1：2．
（1）求OB和OM的值；
（2）求直線OD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）已知點(diǎn)P在線段OB上（P不與點(diǎn)O，B重合），經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)P的直線交梯形OABD的邊于點(diǎn)E（E異于點(diǎn)A），設(shè)OP=t，梯形OABD被夾在∠OAE內(nèi)的部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）由于∠OAB=90°，OA=2，AB=2

3

，所以O(shè)B=4；
因?yàn)?span id="rlxvhhp" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

BM

OM

=

1

2

，所以

4-OM

OM

=

1

2

，OM=

8

3

．
（2）由（1）得：OM=

8

3

，即BM=

4

3

．由于DB∥OA，易證

DB

OA

=

BM

OM

=

1

2

，故DB=1，D（1，2

3

）．故過OD的直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=2

3

x．
（3）依題意：當(dāng)0＜t≤

8

3

時(shí)，E在OD邊上，分別過E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分別為F和N，由于tan∠PON=

2 3

2

=

3

，故∠PON=60°，OP=t，故ON=

1

2

t，PN=

3

2

t，直線OD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=2

3

x，
設(shè)E（n，2

3n

）易證得△APN∽△AEF，故

PN

EF

=

AN

AF

，故n=

2t

8-t

，由此，S_△OAE=

1

2

OA•EF=

1

2

×2×2

3

×

2t

8-t

，
∴S=

4 3 t

8-t

（0＜t≤

8

3

）；
當(dāng)

8

3

＜t＜4時(shí)，點(diǎn)E在BD邊上，此時(shí)，S_梯形OABD=S_△ABE+S_梯形OAED，
由于DB∥OA，易證：∴△EPB∽△APO，
∴

BE

OA

=

BP

OP

，
∴

BE

2

=

4-t

t

，BE=

2(4-t)

t

，
可分別求出三角形的值．

解答：解：（1）∵∠OAB=90°，OA=2，AB=2

3

，
∴OB=4，
∵

BM

OM

=

1

2

，
∴

4-OM

OM

=

1

2

，
∴OM=

8

3

．

（2）由（1）得：OM=

8

3

，
∴BM=

4

3

，
∵DB∥OA，易證

DB

OA

=

BM

OM

=

1

2

，
∴DB=1，D（1，2

3

），
∴過OD的直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=2

3

x．

（3）依題意：當(dāng)0＜t≤

8

3

時(shí)，E在OD邊上，
分別過E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分別為F和N，
∵tan∠PON=

2 3

2

=

3

，∴∠PON=60°，
OP=t．∴ON=

1

2

t，PN=

3

2

t，
∵直線OD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=2

3

x，
設(shè)E（n，2

3

n）易證得△APN∽△AEF，
∴

PN

EF

=

AN

AF

，
∴

3 2 t

2 3 n

=

2- 1 2 t

2-n

，
整理得：

t

2n

=

4-t

2-n

，
∴8n-2nt=2t-nt，
∴8n-nt=2t，n（8-t）=2t，
∴n=

2t

8-t

．
由此，S_△OAE=

1

2

OA•EF=

1

2

×2×2

3

×

2t

8-t

，
∴S=

4 3 t

8-t

（0＜t≤

8

3

），
當(dāng)

8

3

＜t＜4時(shí)，點(diǎn)E在BD邊上，
此時(shí)，S_梯形OABD=S_△ABE+S_梯形OAED，
∵DB∥OA，
易證：△EPB∽△APO，
∴

BE

OA

=

BP

OP

，
∴

BE

2

=

4-t

t

，
BE=

2(4-t)

t

，
S_△ABE=

1

2

BE•AB=

1

2

×

2(4-t)

t

×2

3

=

4-t

t

×2

3

=

2 3 (4-t)

t

=

8 3 -2 3 t

t

，
∴S=

1

2

（1+2）×2

3

-

4-t

t

×2

3

=3

3

-

4-t

t

×2

3

=-

8 3

t

+5

3

，
綜上所述：S=

4 3 t 8-t 0＜t≤ 8 3 - 8 3 t +5 3 8 3 ＜t＜4

．

（3）解法2：①∵∠AOB=90°，OA=2，AB=2

3

，
易求得：∠ABO=30°，∴OB=4．
解法2：分別過E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分別為F和N，
由①得，∠OBA=30°，
∵OP=t，
∴ON=

1

2

t，PN=

3

2

t，
即：P（

1

2

t，

3

2

t），又（2，0），
設(shè)經(jīng)過A，P的直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=kx+b，
則

1 2 tk+b= 3 2 t 2k+b=0

，
解得：k=-

3 t

4-t

，b=

2 3 t

4-t

，
∴經(jīng)過A，P的直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=-

3 t

4-t

x+

2 3 t

4-t

．
依題意：當(dāng)0＜t≤

8

3

時(shí)，在OD邊上，
∴E（n，2

3

n），在直線AP上，
∴-

3 t

4-t

n+

2 3 t

4-t

=2

3

n，
整理得：

tn

t-4

-

2t

t-4

=2n，
∴n=

2t

8-t

，
∴S=

4 3 t

8-t

（0＜t≤

8

3

），
當(dāng)

8

3

＜t＜4時(shí)，點(diǎn)E在BD上，此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)是（n，2

3

），因?yàn)镋在直線AP上，
∴-

3 t

4-t

n+

2 3 t

4-t

=2

3

，
整理得：

tn

t-4

+

2t

t-4

=2∴8n-nt=2t，
∴n=

4t-8

t

，
BE=2-n=2-

4t-8

t

=

2(4-t)

t

，
∴S=

1

2

（1+2）×2

3

-

4-t

t

×2

3

=3

3

-

4-t

t

×2

3

=-