Question

如圖所示，在直線AB上有一點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AE⊥AB，垂足為A，過點(diǎn)B作BF⊥AB，垂足為B，且AE=BC，BF=AC，連接EF．
（1）求證：△AEC≌△BCF；
（2）若AE=2，tan∠CFB=

1

2

，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵EA⊥AB，BF⊥AB
∴∠EAC=∠FBC=90°…（1分）
在Rt△EAC與Rt△CBF中，

AE=BC ∠EAC=∠CBF AC=BF

…（3分）
∴Rt△AEC≌Rt△BCF；

（2）∵△AEC≌△BCF，
∴AE=2=BC，∠CFB=∠ECA
∴tan∠ECA=

1

2

，
∴2AE=AC=4，
∴EC=CF=2

5

…（7分），
∵∠EAC+∠ECA=90°，∠AEC=∠FCB，
∴∠ECA+∠FCB=90°，
∴∠ECF=90°，
在Rt△ECF中，EC=CF=2

5

，
∴EF=2

10

．