Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是高，已知Rt△ABC的三邊長都是整數(shù)且BD=11³，求Rt△BCD與Rt△ACD的周長之比．

Answer 1

分析：根據(jù)題意易證△BCD∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)及勾股定理列式，解方程組即可解答．

解答：解：設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，
∵Rt△BCD∽Rt△BAC，
∴

BC

BA

=

BD

BC

，即BC²=BD•BA，
∴a²=11³c．
因a²為完全平方數(shù)，且11是質(zhì)數(shù)，
∴c為11的倍數(shù)，令c=11k²（k為正整數(shù)），則a=11²k，
于是由勾股定理得b=

c2-a2

=11k

k2-112

，又因為b為整數(shù)，
∴k²-11²是完全平方數(shù)，令k²-11²=m²，則（k+m）（k-m）=11²，
∵（k+m）＞（k-m）＞0且11為質(zhì)數(shù)，
∴

k+m=112 k-m=1

 解得 

k=61 m=60

，于是a=11²×61，b=11×61×60，
又∵Rt△BCD∽Rt△CAD，
∴它們周長的比等于它們的相似比．
即

a

b

=

112×61

11×61×60

=

11

60

．

點評：解答此題是要根據(jù)題意列出方程，把解三角形轉(zhuǎn)化成解方程的形式解答．