Question

24、如圖，已知：AD是△ABC中BC邊的中線，則S_△ABD=S_△ACD，依據(jù)是

等底等高的三角形面積相等

規(guī)定；若一條直線l把一個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱這樣的直線l叫做這個(gè)圖形的等積直線．根據(jù)此定義，在圖1中易知直線為△ABC的等積直線．
（1）如圖2，在矩形ABCD中，直線l經(jīng)過AD，BC邊的中點(diǎn)M、N，請(qǐng)你判斷直線l是否為該矩形的等積直線

是

（填“是”或“否”）．在圖2中再畫出一條該矩形的等積直線．（不必寫作法）
（2）如圖3，在梯形ABCD中，直線l經(jīng)過上下底AD、BC邊的中點(diǎn)M、N，請(qǐng)你判斷直線l是否為該梯形的等積直線

是

（填“是”或“否”）．
（3）在圖3中，過M、N的中點(diǎn)O任作一條直線PQ分別交AD，BC于點(diǎn)P、Q，如圖4所示，猜想PQ是否為該梯形的等積直線？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）（2）直線l應(yīng)該是矩形或梯形的等積直線，因?yàn)榻?jīng)過直線l分割后矩形或梯形的高都沒變，而被分成的兩部分中每一部分的長(zhǎng)或上下底的和都是原來(lái)的一半，因此，每部分的面積都是矩形或梯形的面積的一半．因此直線l是矩形或梯形的等積直線．
（3）和（2）的思路是一樣的，也是證明被直線分成的兩部分中每部分的上下底的和是原來(lái)的一半來(lái)得出結(jié)論的，參考（2）的做法，可通過證明三角形POM和NOQ全等，得出PM=NQ來(lái)證得．

解答：解：依據(jù)是“等底等高的三角形面積相等”
（1）是．
（2）是．
（3）是．
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，PQ過M、N的中點(diǎn)O，
∴∠PMO=∠QNO，∠POM=∠QON，OM=ON．
∴△PMO≌△QNO．（ASA）
∴S_△PMO=S_△QNO．
由（2）可知，直線l為該梯形的等積直線．
由割補(bǔ)法可得

直線PQ為該梯形的等積直線．

點(diǎn)評(píng)：本題中主要考查了各圖形的面積計(jì)算方法以及全等三角形的判定，依據(jù)（2）的思路通過全等三角形來(lái)得到（2）的條件是第（3）題解題的關(guān)鍵所在．