Question

6．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于E，且與AB的延長線相交于點D，若BD=OB=2，則弦AE的長為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接OE，在RT△ODE中，先求出∠D，DE，∠DOE，再求出∠A，判斷出∠A=∠D，即AE=DE即可．

解答 解：如圖，

連接OE，BE，
∴OE=OA=OB=2，
∵CD與⊙O相切于E，
∴∠OED=90°，
在RT△ODE中，OE=2，OD=OB+BD=4，
∴tan∠D=$\frac{OE}{OD}$=$\frac{1}{2}$，DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴銳角∠D=30°，
∴∠DOE=60°，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO=$\frac{1}{2}$∠DOE=30°，
∴AE=DE=2$\sqrt{3}$，
故答案為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)主要有，①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．