Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合）兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：

①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四邊形AEPF}= S_△ABC；④BE+CF=EF．

上述結(jié)論始終正確的個(gè)數(shù)是

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

C
分析：連接AP根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，求出∠APE=∠CPF，證△APE≌△CPF，推出AE=CF，EP=PF，推出S_APE=S_△CPF，求出S_{四邊形AEPF}=S_△APC=S_△ABC，求出BE+CF=AE+AF＞EF，即可得出答案．
解答：
連接AP，
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，
∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中

∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，∴①正確；②正確；
∵△APE≌△CPF
∴S_APE=S_△CPF，
∴S_{四邊形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△APF=S_△APC=S_△ABC，∴③正確；
∵AB=AC，AE=CF，
∴AF=BE，
∴BE+CF=AE+AF＞EF，∴④錯(cuò)誤；
即正確的有3個(gè)，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．