Question

【題目】如圖，在菱形中，，點(diǎn)、分別是、上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，連接與相交于點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①；②；③與一定不垂直；④的大小為定值．其中正確的結(jié)論有________．

Answer 1

【答案】①④

【解析】

①先證明△ABD為等邊三角形，根據(jù)“SAS”證明△AED≌△DFB；
②證明∠BGE=60°=∠BCD，從而得點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，因此∠BGC=∠DGC=60°，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．證明△CBM≌△CDN，所以S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，易求后者的面積；
③過(guò)點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)，根據(jù)題意有FP：AE=DF：DA=1：3，則FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=DF，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)時(shí)，CG⊥BD；
④∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°．

①∵ABCD為菱形，∴AB=AD，
∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，
∴∠A=∠BDF=60°，
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB，故本選項(xiàng)正確；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，
∴∠BGC=∠DGC=60°，
過(guò)點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），

則△CBM≌△CDN（AAS），
∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，
S四邊形CMGN=2S△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴

∴S四邊形CMGN=2S△CMG

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)時(shí)（如圖3），
由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)，
∴∠BDE=∠DBG=30°，
∴DG=BG，
在△GDC與△BGC中，

，
∴△GDC≌△BGC，
∴∠DCG=∠BCG，
∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，為定值，
故本選項(xiàng)正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①④，
故答案為：①④．