Question

11．如圖，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，DG平分∠CDF，∠1+∠2=90°，則：①AB∥CD；②BE∥DG；③ED⊥GD．用推理的方法說明以上命題是真命題．

Answer 1

分析 根據角平分線定義得出∠ABD=2∠2，∠CDB=2∠1，根據∠1+∠2=90°求出∠ABD+∠CDB=180°，根據平行線的判定得出AB∥CD，求出∠CDF=∠ABD，根據角平分線定義得出∠2=∠GDF，根據平行線的判定得出BE∥DG，求出∠EDG=90°，即可得出答案．

解答 解：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD=2∠2，∠CDB=2∠1，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴AB∥CD，∴①正確；
∵∠ABD+∠CDB=180°，∠CDF+∠CDB=180°，
∴∠CDF=∠ABD，
∵BE平分∠ABD，DG平分∠CDF，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠GDF=$\frac{1}{2}∠CDF$，
∴∠2=∠GDF，
∴BE∥DG，∴②正確；
∵∠2=∠GDF，∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠GDF=90°，
∴∠EDG=180°-90°=90°，
∴DE⊥DG，∴③正確，
即①②③都是真命題．

點評 本題考查了平行線的性質和判定的應用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵，注意：平行線的性質有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內錯角相等，③兩直線平行，同旁內角互補，反之亦然．