Question

已知O為正方形ABCD的中心，以AB為斜邊作Rt△ABE，連OA、OE，若AE=2，OE=3

2

，則正方形ABCD面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OA=OD，∠OAB=∠ADO=45°，作出圖形，將△ABE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE′=AE，∠BAE=∠ADE′，再求出∠OAE=∠ODE′，連接OE′，利用“邊角邊”證明△AOE和△DOE′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE′=OE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AOE=∠DOE′，判斷出△OEE′是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的

2

倍求出EE′，然后分點(diǎn)E在正方形的內(nèi)部和外部?jī)煞N情況判斷出A、E、E′三點(diǎn)共線，并求出AE′，利用勾股定理列式求出AD²，即為正方形的面積．

解答：解：將△ABE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAE′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，DE′=AE=2，∠BAE=∠ADE′，
∵∠OAE=∠BAE-∠OAB=∠BAE-45°，
∠ODE′=∠ADE′-∠ADO=∠ADE′-45°，
∴∠OAE=∠ODE′，
連接OE′，
在△AOE和△DOE′中，

AB=AD ∠OAE=∠ODE′ AE=DE′

，
∴△AOE≌△DOE′（SAS），
∴OE′=OE，∠AOE=∠DOE′，
∴∠EOE′=∠DOE′+∠DOE=∠AOE+∠DOE=∠AOD=90°，
∴△OEE′是等腰直角三角形，
∴EE′=

2

OE=

2

×3

2

=6，

如圖1，若點(diǎn)E在正方形的內(nèi)部，∵∠ADE′+∠DAE′=90°，
∠BAE+∠DAE=90°，
∴∠DAE′=∠DAE，
∴A、E、E′三點(diǎn)共線，
∴AE′=AE+EE′=2+6=8，
在Rt△ADE′中，AD²=AE′²+DE′²=8²+2²=68，
∴正方形ABCD的面積=68；
如圖2，點(diǎn)E在正方形的外部，∵∠BAE+∠DAE′+∠BAD=∠BAE+∠ABE+90°=90°+90°=180°，
∴A、E、E′三點(diǎn)共線，
∴AE′=EE′-AE=6-2=4，
在Rt△ADE′中，AD²=AE′²+DE′²=4²+2²=20，
∴正方形ABCD的面積=20，
綜上所述，正方形ABCD的面積為68或20．
故答案為：68或20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的關(guān)鍵，注意要分情況討論．