Question

已知：如圖，AC⊙O是的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，∠PBA=∠C．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OB，
∵AC是⊙O直徑，
∴∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠ACB，
∵∠PBA=∠ACB，
∴∠PBA=∠OBC，
即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，
∴OB⊥PB，
∵OB為半徑，
∴PB是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為r，則AC=2r，OB=R，
∵OP∥BC，∠OBC=∠OCB，
∴∠POB=∠OBC=∠OCB，
∵∠PBO=∠ABC=90°，
∴△PBO∽△ABC，
∴=，
∴=，
r=2，
即⊙O的半徑為2．
分析：（1）連接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠OCB，推出∠PBO=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）證△PBO和△ABC相似，得出比例式，代入求出即可．
點評：本題考查了等腰三角形性質，平行線性質，相似三角形的性質和判定，切線的判定等知識點的應用，主要考查學生的推理能力，用了方程思想．