Question

【題目】如圖1，已知ED垂直平分BC，垂足為D，AB與EK相交于點(diǎn)F，連接CF．

（1）求證：∠AFE=∠CFD；

（2）如圖2．在△GMN中，P為MN上的任意一點(diǎn)．在GN邊上求作點(diǎn)Q，使得∠GQM=∠PQN，保留作圖痕跡，寫出作法并作簡(jiǎn)要證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析．

【解析】

（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證明三角形CFB是等腰三角形，進(jìn)而證明∠AFE＝∠CFD；

（2）作點(diǎn)P關(guān)于GN的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′M交GN于點(diǎn)Q，結(jié)合（1）即可證明∠GQM＝∠PQN．

（1）∵ED垂直平分BC，

∴FC=FB，

∴△FCB是等腰三角形．

∵FD⊥BC，

由等腰三角形三線合一可知：

FD是∠CFB的角平分線，

∴∠CFD=∠BFD．

∵∠AFE=∠BFD，

∴∠AFE=∠CFD．

（2）作點(diǎn)P關(guān)于GN的對(duì)稱點(diǎn)P'，

連接P'M交GN于點(diǎn)Q，

點(diǎn)Q即為所求．

∵QP=QP'，

∴△QPP'是等腰三角形．

∵QN⊥PP'，

∴QN是∠PQP'的角平分線，

∴∠PQN=∠P'QN．

∵∠GQM=∠P'QN，

∴∠GQM=∠PQN．