Question

1．△ABC中，AB=AC．將△ABC繞C點旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，連BB′，以AB、BB′為鄰邊作?ABB′D，連A′D．
（1）旋轉(zhuǎn)后B、C、A′在一條直線上．如圖1，若∠BAC=60°，則∠ADA′=60°；如圖2，若∠BAC=90°，則∠ADA′=45°； 
（2）如圖3，旋轉(zhuǎn)后B、C、A′在一條直線上．若∠BAC=α，則∠ADA′=90°-$\frac{α}{2}$（用含α的式子表示）；
（3）分別將圖1與圖2中的△A′B′C繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至圖4、圖5，使B、C、A′不在一條直線上，連AA′，則圖4中，△ADA′的形狀是等邊三角形；圖5中，△ADA′的形狀是等腰直角三角形．請你任選其中一個結(jié)論證明．

Answer 1

分析 （1）連接AA′，交BB′于點O，設(shè)AC與BB′交于點E，如圖1．易證△BCB′≌△ACA′，則有BB′=AA′，∠CBB′=∠CAA′，從而可得∠AOB=∠ACB．由平行四邊形ABB′D可得AD=BB′，AD∥BB′，從而可得AD=AA′，∠DAA′=∠AOB，即可得到∠DAA′=∠ACB=60°，則有△ADA′是等邊三角形，因而∠ADA′=60°；
連接AA′，交BB′于點O，設(shè)AC與BB′交于點E，如圖2．易證△BCB′∽△ACA′，則有$\frac{BB′}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$，∠CBB′=∠CAA′從而可得∠AOB=∠ACB，由平行四邊形ABB′D可得AD=BB′，AD∥BB′，從而可得$\frac{AD}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$，∠DAA′=∠AOB，從而可得∠DAA′=∠ACB，即可得到△DAA′∽△BCA，即可得到∠ADA′=∠CBA=45°；
（2）連接AA′，交BB′于點O，設(shè)AC與BB′交于點E，如圖3．同（1）可得到∠ADA′=∠CBA，由AB=AC及∠BAC=α即可得到∠ADA′=∠CBA=90°-$\frac{α}{2}$；
（3）連接AA′，交BB′于點O，設(shè)AC與BB′交于點E，如圖4．同（1）可得到△ADA′是等邊三角形；
連接AA′，交BB′于點O，設(shè)AC與BB′交于點E，如圖5．同（1）可得到△DAA′∽△BCA，由等腰直角△BCA即可得到△DAA′是等腰直角三角形．

解答 解：（1）連接AA′，交BB′于點O，設(shè)AC與BB′交于點E，如圖1．

∵△A′B′C是由△ABC繞C點旋轉(zhuǎn)所得，∠BAC=60°，AB=AC，
∴CA=CA′=CB=CB′，∠ACB=∠A′CB′，
∴∠BCB′=∠ACA′．
在△BCB′和△ACA′中
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CA}\\{∠BCB′=∠ACA′}\\{CB′=CA′}\end{array}\right.$
∴△BCB′≌△ACA′，
∴BB′=AA′，∠CBB′=∠CAA′．
∵∠AEB=∠CAA′+∠AOB，∠AEB=∠CBB′+∠ACB，
∴∠AOB=∠ACB．
∵四邊形ABB′D是平行四邊形，
∴AD=BB′，AD∥BB′，
∴AD=AA′，∠DAA′=∠AOB，
∴∠DAA′=∠ACB=60°，
∴△ADA′是等邊三角形，
∴∠ADA′=60°．
連接AA′，交BB′于點O，設(shè)AC與BB′交于點E，如圖2．

∵△A′B′C是由△ABC繞C點旋轉(zhuǎn)所得，
∴CA=CA′，CB=CB′，∠ACB=∠A′CB′，
∴$\frac{CB}{CA}$=$\frac{CB′}{CA′}$，∠BCB′=∠ACA′．
∴△BCB′∽△ACA′，
∴$\frac{BB′}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$，∠CBB′=∠CAA′．
∵∠AEB=∠CAA′+∠AOB，∠AEB=∠CBB′+∠ACB，
∴∠AOB=∠ACB．
∵四邊形ABB′D是平行四邊形，
∴AD=BB′，AD∥BB′，
∴$\frac{AD}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$，∠DAA′=∠AOB，
∴∠DAA′=∠ACB，
∴△DAA′∽△BCA，
∴∠ADA′=∠CBA．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ADA′=45°．
故答案分別為60°、45°；

（2）連接AA′，交BB′于點O，設(shè)AC與BB′交于點E，如圖3．

∵△A′B′C是由△ABC繞C點旋轉(zhuǎn)所得，
∴CA=CA′，CB=CB′，∠ACB=∠A′CB′，
∴$\frac{CB}{CA}$=$\frac{CB′}{CA′}$，∠BCB′=∠ACA′．
∴△BCB′∽△ACA′，
∴$\frac{BB′}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$，∠CBB′=∠CAA′．
∵∠AEB=∠CAA′+∠AOB，∠AEB=∠CBB′+∠ACB，
∴∠AOB=∠ACB．
∵四邊形ABB′D是平行四邊形，
∴AD=BB′，AD∥BB′，
∴$\frac{AD}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$，∠DAA′=∠AOB，
∴∠DAA′=∠ACB，
∴△DAA′∽△BCA，
∴∠ADA′=∠CBA．
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{α}{2}$，
∴∠ADA′=90°-$\frac{α}{2}$．
故答案為90°-$\frac{α}{2}$；

（3）連接AA′，交BB′于點O，設(shè)AC與BB′交于點E，如圖4．

∵△A′B′C是由△ABC繞C點旋轉(zhuǎn)所得，∠BAC=60°，AB=AC，
∴CA=CA′=CB=CB′，∠ACB=∠A′CB′，
∴∠BCB′=∠ACA′．
在△BCB′和△ACA′中
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CA}\\{∠BCB′=∠ACA′}\\{CB′=CA′}\end{array}\right.$
∴△BCB′≌△ACA′，
∴BB′=AA′，∠CBB′=∠CAA′．
∵∠AEB=∠CAA′+∠AOB，∠AEB=∠CBB′+∠ACB，
∴∠AOB=∠ACB．
∵四邊形ABB′D是平行四邊形，
∴AD=BB′，AD∥BB′，
∴AD=AA′，∠DAA′=∠AOB，
∴∠DAA′=∠ACB=60°，
∴△ADA′是等邊三角形．
連接AA′，交BB′于點O，設(shè)AC與BB′交于點E，如圖5．

∵△A′B′C是由△ABC繞C點旋轉(zhuǎn)所得，
∴CA=CA′，CB=CB′，∠ACB=∠A′CB′，
∴$\frac{CB}{CA}$=$\frac{CB′}{CA′}$，∠BCB′=∠ACA′．
∴△BCB′∽△ACA′，
∴$\frac{BB′}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$，∠CBB′=∠CAA′．
∵∠AEB=∠CAA′+∠AOB，∠AEB=∠CBB′+∠ACB，
∴∠AOB=∠ACB．
∵四邊形ABB′D是平行四邊形，
∴AD=BB′，AD∥BB′，
∴$\frac{AD}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$，∠DAA′=∠AOB，
∴∠DAA′=∠ACB，
∴△DAA′∽△BCA．
∵△BCA是等腰直角三角形，
∴△DAA′是等腰直角三角形．
故答案分別為等邊三角形、等腰直角三角形．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識，考查了由特殊到一般的數(shù)學思想，突出了對四基（基本知識、基本技能、基本數(shù)學思想、基本數(shù)學活動經(jīng)驗）的考查，體現(xiàn)了新課程理念．