Question

如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論中一定成立的是

 

．（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）
①∠DCF=

1

2

∠BCD；②EF=CF；③S_△BEC=2S_△CEF；④∠DFE=3∠AEF．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：幾何圖形問題,壓軸題

分析：分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出△AEF≌△DMF（ASA），得出對應(yīng)線段之間關(guān)系進而得出答案．

解答：解：①∵F是AD的中點，
∴AF=FD，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=

1

2

∠BCD，故此選項正確；
延長EF，交CD延長線于M，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F為AD中點，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，

∠A=∠FDM AF=DF ∠AFE=∠DFM

，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正確；

③∵EF=FM，
∴S_△EFC=S_△CFM，
∵MC＞BE，
∴S_△BEC＜2S_△EFC
故S_△BEC=2S_△CEF錯誤；

④設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此選項正確．
故答案為：①②④．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出△AEF≌△DME是解題關(guān)鍵．