Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象交于點(diǎn)P（n，2），與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)C，PB⊥x軸于點(diǎn)B，且AC=BC．

（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式；

（2）反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），

∴O為AB的中點(diǎn)，即OA=OB=4，

∴P（4，2），B（4，0），

將A（﹣4，0）與P（4，2）代入y=kx+b得：，

解得：k=，b=1，

∴一次函數(shù)解析式為y=x+1，

將P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式為y=；

（2）假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形，如圖所示，

對(duì)于一次函數(shù)y=x+1，令x=0，得到y(tǒng)=1，即C（0，1），

∴直線BC的斜率為=﹣，

設(shè)過點(diǎn)P，且與BC平行的直線解析式為y﹣2=﹣（x﹣4），即y=，

與反比例解析式聯(lián)立得：，

消去y得：=，

整理得：x²﹣12x+32=0，即（x﹣4）（x﹣8）=0，

解得：x=4（舍去）或x=8，

當(dāng)x=8時(shí)，y=1，

∴D（8，1），

此時(shí)PD==，BC==，即PD=BC，

∵PD∥BC，

∴四邊形BCPD為平行四邊形，

∵PC==，即PC=BC，

∴四邊形BCPD為菱形，滿足題意，

則反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，此時(shí)D坐標(biāo)為（8，1）．