Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx（a＞0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，B．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求實(shí)數(shù)a，b，k的值；
（2）如圖2，過拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求所有滿足△COE∽△BOA的點(diǎn)E的坐標(biāo)（提示：C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為B）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，易求得k的值，進(jìn)而可確定雙曲線的解析式；可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可得到直線AB的解析式，進(jìn)而可得到此直線與y軸交點(diǎn)（設(shè)為M）坐標(biāo)，以O(shè)M為底，A、B縱坐標(biāo)差的絕對值為高，即可表示出△BOA的面積，已知此面積為3，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，即可得到a、b、k的值．
（2）易求得B（-2，-2），C（-4，-4），若設(shè)拋物線與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D，那么∠COD=∠BOD=45°，即∠COB=90°，由于兩個(gè)三角形無法發(fā)生直接聯(lián)系，可用旋轉(zhuǎn)的方法來作輔助線；
①將△BOA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)B₁（B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)）位于OC的中點(diǎn)位置上，可延長OA至E₁，使得OE=2OA₁，那么根據(jù)三角形中位線定理即可得到B₁A₁∥CE，那么E1就是符合條件的點(diǎn)E，A₁的坐標(biāo)易求得，即可得到點(diǎn)E₁的坐標(biāo)；
②參照①的方法，可以O(shè)C為對稱軸，作△B₁OA₁的對稱圖形△B₁OA₂，然后按照①的思路延長OA₂至E₂，即可求得點(diǎn)E₂的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵反比例函數(shù)經(jīng)過A（1，4），
∵k=1×4=4，即y=；
設(shè)B（m，），已知A（1，4），可求得
直線AB：y=-x+4+；
∵S_△BOA=×（4+）×（1-m）=3，
∴2m²+3m-2=0，
即m=-2（正值舍去）；
∴B（-2，-2）．
由于拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，則有：
，
解得；
∴y=x²+3x．
故a=1，b=3，k=4．

（2）設(shè)拋物線與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D；
∵直線AC∥x軸，且A（1，4），
∴C（-4，4）；
已求得B（-2，-2），則有：
∠COD=∠BOD=45°，即∠BOC=90°；
①將△BOA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△B₁OA₁，作AM⊥x軸于M，作A₁N⊥x軸于N．
∵A的坐標(biāo)是（1，4），即AM=4，OM=1，
∵∠AOM+∠NOA₁=90°，∠OAM+∠AOM=90°
∴∠OAM=∠NOA₁，
又∵OA=OA₁，∠AMO=∠A₁NO
∴△AOM≌△OA₁N，
∴A₁N=OM=1，ON=AM=4
∴A₁的坐標(biāo)是（4，-1），
此時(shí)B₁是OC的中點(diǎn)，延長OA₁至E₁，使得OE=2OA₁，
則△COE₁∽△B₁OA₁∽△BOA；
則E₁（8，-2）；
②以O(shè)C所在直線為對稱軸，作△B₁OA₁的對稱圖形△B₁OA₂，
延長OA₂至E₂，使得OE₂=2OA₂，
則△COE₂≌△COE₁∽△BOA；
易知A₂（1，-4），則E₂（2，-8）；
故存在兩個(gè)符合條件的E點(diǎn)，且坐標(biāo)為E₁（8，-2），E₂（2，-8）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，圖形面積的求法，相似三角形的判定等知識(shí)．難點(diǎn)在于（2）題的輔助線作法，能夠發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°，并能通過旋轉(zhuǎn)作出相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．