Question

（1）如圖（1），在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．

①求證：BE+CF＞EF．

②若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（2）如圖（2），在四邊形ABCD中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．

【專題】證明題．

【分析】（1）①如圖（1）延長ED到G，使DG=ED，連接CG，F(xiàn)G，根據(jù)條件證明△DCG≌△DBE，得DG=DE，CG=BE，易證FD垂直平分線段EG，則FG=FE，把問題轉(zhuǎn)化到△CFG中，運用三邊關(guān)系比較大小；

②結(jié)論：BE²+CF²=EF²．若∠A=90°，則∠B+∠C=90°，可證∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠B=90°，在Rt△CFG中，由勾股定理探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖（2），結(jié)論：EF=EB+FC．延長AB到M，使BM=CF，根據(jù)條件證明△BDM≌△CDF，則DM=DF，再證明△DEM≌△DEF，從而得EF=EM=EB+BM=EB+CF．

【解答】（1）①證明：如圖（1）延長ED到G，使DG=ED，連接CG，F(xiàn)G，

∵在△DCG與△DBE中，

，

∴△DCG≌△DBE（SAS），

∴DG=DE，CG=BE，

又∵DE⊥DF，

∴FD垂直平分線段EG，

∴FG=FE，

在△CFG中，CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF；

②結(jié)論：BE²+CF²=EF²．

理由：∵∠A=90°，

∴∠B+∠ACD=90°，

由①∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠B=90°，

∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG²+CF²=FG²，

即BE²+CF²=EF²；

（2）如圖（2），結(jié)論：EF=EB+FC．

理由：延長AB到M，使BM=CF，

∵∠ABD+∠C=180°，又∠ABD+∠MBD=180°，

∴∠MBD=∠C，而BD=CD，

∴△BDM≌△CDF，

∴DM=DF，∠BDM=∠CDF，

∴∠EDM=∠EDB+∠BDM=∠EDB+∠CDF=∠CDB﹣∠EDF=120°﹣60°=60°=∠EDF，

∴△DEM≌△DEF，

∴EF=EM=EB+BM=EB+CF．

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)法探索和證明幾何問題的方法．（1）中利用了D為線段BC的中點，通過作輔助線得出D為線段EG的中點，將涉及的三條線段轉(zhuǎn)化到△CFG中解決問題，（2）中利用旋轉(zhuǎn)法把問題轉(zhuǎn)化到△DEG中，證明△DEG≌△DEF，使問題得到解決．