Question

1．如圖，拋物線C₁：y=-$\frac{4}{9}$（x+3）²與x，y軸分別相交于點A，B，將拋物線C₁沿對稱軸向上平移，記平移后的拋物線為C₂，拋物線C₂的頂點是D，與y軸交于點C，射線DC與x軸相交于點E，
（1）求A，B點的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)CE：CD=1：2時，求此時拋物線C₂的頂點坐標(biāo)；
（3）若四邊形ABCD是菱形．
①此時拋物線C₂的解析式；
②點F在拋物線C₂的對稱軸上，且點F在第三象限，點M在拋物線C₂上，點P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，是否存在以A，F(xiàn)，P，M為頂點的四邊形與菱形ABCD相似，并且這個菱形以A為頂點的角是鈍角，若存在求出點F的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用坐標(biāo)軸上點的特點，確定出點A，B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義，和拋物線的平移，得到比例式，求出即可；
（3）①由點的移動情況判斷出拋物線的移動情況；
②設(shè)出點的坐標(biāo)，M（3+3a，4a），表示出F（-3，-5a）．根據(jù)點在拋物線上，求出a，從而得到F的坐標(biāo)．

解答 解：（1）令y=0，
∴y=-$\frac{4}{9}$（x+3）²=0，
∴x=-3，
令x=0，
∴y=4，
∴A（-3，0），B（0，-4）；
（2）由（1）得：OA=3，OB=4，
∴tan∠OBA=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{3}{4}$．
由題意得AB∥CD，∠EDA=∠OBA，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{OA}{OB}=\frac{3}{4}$．
∵點C在y軸正半軸時，
由CE：CD=1：2，
∴OE：OA=1：2，
∴AE=4.5，
∴AD=6，
∴D（-3，6）．
（3）①由解析式可得A（-3，0），B（0，-4），
∵ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=DC=5，
即拋物線向上平移5個單位，因此拋物線C₂解析式為$y=-\frac{4}{9}{（{x+3}）^2}+5$；
②I：如圖，以AF為邊在對稱軸左側(cè)作菱形時，延長BA，與拋物線C₂ 交于點G，
∴∠FAG=∠BAD．
當(dāng)AF=AM時，點M與點G重合，菱形AMPF∽菱形ABCD，
∵tan∠AMP=tan∠OBA=$\frac{3}{4}$
∴設(shè)M（-3-3a，4a），F(xiàn)（-3，-5a）．
把M點坐標(biāo)代入$y=-\frac{4}{9}{（{x+3}）^2}+5$；
可得a₁=$\frac{-1+\sqrt{6}}{2}$，a₂=$\frac{-1-\sqrt{6}}{2}$（舍去），
F（-3，$\frac{5-5\sqrt{6}}{2}$）．
當(dāng)AF=AP時，
∴設(shè)M（-3-3a，-a），F(xiàn)（3，-5a）．
把M點坐標(biāo)代入為$y=-\frac{4}{9}{（{x+3}）^2}+5$；
可得a₁=-1 （舍去），a₂=$\frac{5}{4}$，
∴F（-3，-$\frac{25}{4}$）．
以AF為邊在對稱軸右側(cè)作菱形時，點F坐標(biāo)不變．
II：以AF為對角線作菱形時，
由菱形的對角線性質(zhì)可知，
在AF右側(cè)作∠FAP=∠FAM，
∴∠PAF=∠GAF=∠BAD，
菱形的軸對稱性可得P點也在拋物線C₂ 上．
設(shè)M（-3-3a，-a），F(xiàn)（-3，-2a），
把M點坐標(biāo)代入為$y=-\frac{4}{9}{（{x+3}）^2}+5$；
∴${a_2}=\frac{5}{4}$，
∴F（-3，-$\frac{5}{2}$）．
當(dāng)點M在AF左側(cè)時，F(xiàn)點坐標(biāo)不變． 
當(dāng)點M在AF左側(cè)時，F(xiàn)點坐標(biāo)不變．
綜上所述：F（-3，$\frac{5-5\sqrt{6}}{2}$）或（-3，-$\frac{25}{4}$）或（-3，-$\frac{5}{2}$）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的意義，解本題的關(guān)鍵是銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．