Question

6．如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，DE⊥C，交AC的延長線于點E．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（1）若AE=8，⊙O的半徑為5，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由角平分線和等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODA=EAD，證出EA∥OD，再由已知條件得出DE⊥OD，即可得出結(jié)論． 
（2）作DF⊥AB，垂足為F，由AAS證明△EAD≌△FAD，得出AF=AE=8，DF=DE，求出OF=3，由勾股定理得出DF，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接OD，如圖1所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=EAD，
∴EA∥OD，
∵DE⊥EA，
∴DE⊥OD，
∵點D在⊙O上，
∴直線DE與⊙O相切． 
（2）解：作DF⊥AB，垂足為F，如圖2所示：
∴∠DFA=∠DEA=90°，
在△EAD和△FAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFA=∠DEA}\\{∠EAD=∠FAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△FAD（AAS），
∴AF=AE=8，DF=DE，
∵OA=OD=5，
∴OF=3，
在Rt△DOF中，DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴DE=DF=4．

點評 本題考查圓與直線相切的判定、平行線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握切線的判定方法，證明三角形全等是解決問題（2）的關(guān)鍵．