Question

在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD交于點D
（1）如圖①，若∠A=80°，則∠D=

 

；若∠A=90°，則∠D=

 

（2）在題（1）的探索中，你發(fā)現(xiàn)∠D的大小與∠A有關(guān)嗎？如果有關(guān)，寫出你的發(fā)現(xiàn)過程；如果沒有，請說明理由（借助圖①）
（3）如圖②，若∠DBC、∠DCE的角平分線BD′、CD′交于點D′，當(dāng)∠BD′C=30°時，∠A=

 

．

Answer 1

分析：（1）因為由角平分線定義和三角形的外角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求出相應(yīng)的∠D；
（2）有關(guān)，角D等于角A的一半，原因是，如圖①，因為角ACE為三角形ABC的外角，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知角ACE等于角A加角ABC，又因為BD為角平分線，根據(jù)角平分線定義可知，角ACE等于角A加角DBC的2倍，同理可得角DCE等于角D加角DCE的2倍，CD為角ACE的角平分線，所以角ACE等于角DCE的2倍，綜合上面的式子可得出角D與角A的關(guān)系；
（3）根據(jù)（2）找出的結(jié)論可知角D′等于角D的一半，而角D等于角A的一半，所以角A等于角D′的四倍，根據(jù)角D′的值即可求出角A的值．

解答：解：（1）當(dāng)∠A=80°時，因為∠ACE是△ABC的外角，所以∠ACE=80°+∠ABC，
又因為BD平分∠ABC，所以∠ACE=80°+2∠DBC，
同理∠DCE是△BCD的外角，所以∠DCE=∠D+∠DBC，且∠ACE=2∠DCE，
80°+2∠DBC=2∠DCE=2（∠D+∠DBC）=2∠D+2∠DBC，
所以2∠D=80°，解得∠D=40°，
當(dāng)∠A=90°時，同理可得∠D=45°；

（2）∠D=

1

2

∠A．因為∠ACE是△ABC的外角，所以∠ACE=∠A+∠ABC，又因為BD平分∠ABC，所以∠ACE=∠A+2∠DBC①，
同理∠DCE是△BCD的外角，所以∠DCE=∠D+∠DBC②，且∠ACE=2∠DCE，綜合①②可得∠D=

1

2

∠A；

（3）由（2）得到的結(jié)論可知，∠BD′C=

1

2

∠D，∠D=

1

2

∠A，所以∠A=4∠BD′C=4×30°=120°．

故答案為：40°；45°；120°．

點評：此題考查學(xué)生靈活運用三角形的外角性質(zhì)及角平分線的定義解決數(shù)學(xué)問題的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷特殊到一般的過程，是一道中檔題．