Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線y=kx+分別與y軸及拋物線交于點(diǎn)C，D．

（1）求直線和拋物線的表達(dá)式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在x軸的負(fù)半軸上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△PDC為直角三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的t的值；

（3）如圖2，將直線BD沿y軸向下平移4個(gè)單位后，與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，在直線EF上是否存在點(diǎn)N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y=，BD解析式為y=﹣；（2）t的值為、、．（3）N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣），.

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得；

（2）先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥x軸、DF⊥y軸，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三種情況，利用相似三角形的性質(zhì)逐一求解可得；

（3）通過(guò)作對(duì)稱點(diǎn)，將折線轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間距離，應(yīng)用兩點(diǎn)之間線段最短．

（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，

得，

解得：，

∴拋物線解析式為：y=，

∵過(guò)點(diǎn)B的直線y=kx+，

∴代入（1，0），得：k=﹣，

∴BD解析式為y=﹣；

（2）由得交點(diǎn)坐標(biāo)為D（﹣5，4），

如圖1，過(guò)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，作DF⊥y軸于點(diǎn)F，

當(dāng)P1D⊥P1C時(shí)，△P1DC為直角三角形，

則△DEP1∽△P1OC，

∴=，即=，

解得t=，

當(dāng)P2D⊥DC于點(diǎn)D時(shí)，△P2DC為直角三角形

由△P2DB∽△DEB得=，

即=，

解得：t=；

當(dāng)P3C⊥DC時(shí)，△DFC∽△COP3，

∴=，即=，

解得：t=，

∴t的值為、、．

（3）由已知直線EF解析式為：y=﹣x﹣，

在拋物線上取點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D′，過(guò)點(diǎn)D′作D′N⊥EF于點(diǎn)N，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M

過(guò)點(diǎn)N作NH⊥DD′于點(diǎn)H，此時(shí)，DM+MN=D′N最小．

則△EOF∽△NHD′

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（a，﹣），

∴=，即=，

解得：a=﹣2，

則N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），

求得直線ND′的解析式為y=x+1，

當(dāng)x=﹣時(shí)，y=﹣，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣），

此時(shí)，DM+MN的值最小為==2．