(2013•寧德質(zhì)檢)如圖,在△ABC中,AB=AC=6,點(diǎn)0為AC的中點(diǎn),OE⊥AB于點(diǎn)E,OE=
32
,以點(diǎn)0為圓心,OA為半徑的圓交AB于點(diǎn)F.
(1)求AF的長;
(2)連結(jié)FC,求tan∠FCB的值.
分析:(1)由AB=AC=6,點(diǎn)0為AC的中點(diǎn),OE⊥AB于點(diǎn)E,OE=
3
2
,可求得AE的長,又由勾股定理,即可求得AE的長,然后由垂徑定理,求得AF的長;
(2)由AC是直徑,可求得∠AFC=90°,繼而可求得FB的長,然后由三角函數(shù)的定義,求得答案.
解答:解:(1)∵點(diǎn)0為AC的中點(diǎn),AC=6,
∴OA=3,
∵OE⊥AB,
∴在Rt△AOE中,AE=
OA2-OE2
=
32-(
3
2
)2
=
3
2
3
,
∵OE⊥AF,
∴AF=2AE,
∴AF=2×
3
2
3
=3
3
;

(2)∵AC是⊙O的直徑,
∴∠AFC=90°,
∴CF=
AC2-AF2
=3,
又∵AC=AB=6,
∴FB=AB-AE=6-3
3
,
在Rt△CFB中,tan∠FCB=
FB
CF

∴tan∠FCB=
6-3
3
3
=2-
3
點(diǎn)評:此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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