Question

16．如圖，拋物線y=ax²-2ax+b與x軸交于A、B兩點，交y軸負半軸于點C，已知B（3，0），C（0，-3），D為頂點．
（1）求拋物線解析式；
（2）E是拋物線在第三象限部分上的點，點E關(guān)于直線BC的對稱點恰好在直線BD上，求E點的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）首先求得A、B和D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得BC的解析式，然后利用平移的性質(zhì)求得D的對稱點的坐標，從而求得直線BE的解析式，進而求得E的坐標．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{9a-6a+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式是y=x²-2x-3；
（2）y=x²-2x-3=（x-1）2-4，
則D的坐標是（1，-4）．
在y=x²-2x-3中令x=0，解得y=-3，則C的坐標是（0，-3）．
在y=x²-2x-3中令y=0，則x²-2x-3=0，解得x=-1或3，
則A的坐標是（-1，0），B的坐標是（3，0）．
設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
則直線BC的解析式是y=x-3．
設(shè)過D且與BC垂直的直線解析式是y=-x+c，把（1，-4）代入得-1+c=-4，解得c=-3，
則直線的解析式是y=-x-3．則DE一定經(jīng)過點C．
把D（1，-4）平移到C（0，-3）是向左平移一個單位長度，向上平移1個單位長度．
則把C向左平移一個單位長度，向上平移1個單位長度后得到D的對稱點D'，則D'的坐標是（-1，-2）．
設(shè)直線BD'的解析式是y=mx+n，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{-m+n=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
則直線BD'的解析式是y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$．
根據(jù)題意得：x²-2x-3=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
解得：x=-$\frac{1}{2}$或3．
當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時，y=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{3}{2}$=-$\frac{7}{4}$，則E的坐標是（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及圖象的平移、直線垂直的條件，正確求得D的對稱點的坐標是關(guān)鍵．