Question

在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AC的中點(diǎn)O處，三角板的兩直角邊分別交AB、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E、F兩點(diǎn)，如圖1，

（1）求證：△EOB≌△FOC；
（2）將等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn)，如圖2，△OFC是否能成為等腰直角三角形？若能，直接寫(xiě)出△OFC是等腰直角三角形時(shí)BF的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若將三角板的直角頂點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)P處，兩直角邊分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn)，如圖3，若tan∠PEF=

1

3

時(shí)，請(qǐng)求出PA的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）由全等三角形的判定定理ASA證得：△EOB≌△FOC；
（2）需要分類(lèi)討論：CF=OF和OF=OC兩種情況下的BF的長(zhǎng)度；
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB，垂足為M，作PN⊥BC，垂足為N．通過(guò)證明△PME∽△PNF得到：PM：PN=PE：PF；又由△PAM∽△PCN得到：PM：PN=PA：PC，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義推知：PE：PF=1：3、PA：PC=1：3．故PA=

1

4

AC=

5 2

4

．

解答：解：（1）如圖1，∵∠EOB+∠COE=∠COF+∠COE=90°，
∴∠EOB=∠COF．
在△EOB和△FOC中，

∠OBE=∠OCF=135° OB=OC ∠EOB=∠COF

∴△EOB≌△FOC（ASA）

（2）如圖2，△OFC能成為等腰直角三角形，包括：
當(dāng)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，CF=OF，BF=

5

2

；
當(dāng)B與F重合時(shí)，OF=OC，BF=0；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB，垂足為M，作PN⊥BC，垂足為N，
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，
∴∠EPM=∠FPN，
∵∠EMP=∠FNP=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴PM：PN=PE：PF，
∵△APM和△CPN均為等腰直角三角形
∴△PAM∽△PCN，
∴PM：PN=PA：PC，
∵tan∠PFE=

1

3

∴PE：PF=1：3
∴PA：PC=1：3
∴PA=

1

4

AC=

5 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．要注意的是（2）中，要根據(jù)等腰三角形的底邊不同進(jìn)行分類(lèi)求解．