【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,點F、E分別在邊AC、AB上,連接DE、DF,且∠AFD+∠B=180°.
(1)求證:BD=FD;
(2)當(dāng)AF+FD=AE時,求證:∠AFD=2∠AED.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)過點D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,由角平分線的性質(zhì)得DM=DN,角角邊證明△DMB≌△DNF,由全等三角形的性質(zhì)求得BD=FD;
(2)在AB上截取AG=AF,連接DG.由邊角邊證△ADF≌△ADG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得FD=GD,∠AFD=∠AGD,因AF+FD=AE,AE=AG+GE得FD=GD=GE,由等腰三角形等邊對等角和三角形的外角定理得∠AGD=2∠GED,等量代換得∠AFD=2∠AED.
證明:(1)過點D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,
如圖1所示:
∵DM⊥AB,DN⊥AC,
∴∠DMB=∠DNF=90°,
又∵AD平分∠BAC,
∴DM=DN,
又∵∠AFD+∠B=180°,
∠AFD+∠DFN=180°,
∴∠B=∠DFN,
在△DMB和△DNF中,
∴△DMB≌△DNF(AAS)
∴BD=FD;
(2)在AB上截取AG=AF,連接DG.
如圖2所示,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAF=∠DAG,
在△ADF和△ADG中.
,
∴△ADF≌△ADG(SAS).
∴∠AFD=∠AGD,FD=GD
又∵AF+FD=AE,
∴AG+GD=AE,
又∵AE=AG+GE,
∴FD=GD=GE,
∴∠GDE=∠GED,
又∵∠AGD=∠GED+∠GDE=2∠GED,
∴∠AFD=2∠AED.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明在學(xué)習(xí)二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,如:3+2=(1+)2,善于思考的小明進行了以下探索:
設(shè)a+b=(m+n)2(其中a、b、m、n均為整數(shù)),則有a+b=m2+2n2+2mn,∴a=m2+2n2,b=2mn,這樣小明就找到了一種把部分a+b的式子化為平方式的方法。
請我仿照小明的方法探索并解決下列問題:
(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時,若a+b=(m+n)2,用含m、n的式子分別表示a、b,得a=________, b=___________.
(2)若a+4=(m+n)2,且a、m、n均為正整數(shù),求a的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】青少年“心理健康”問題已經(jīng)引起了社會的關(guān)注,某中學(xué)對全校850名學(xué)生進行了一次“心理健康”知識測試,并從中抽取了50名學(xué)生的成績(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本,列出下面的頻數(shù)分布表(單位:分)
成績 | 50.5≤x<60.5 | 60.5≤x<70.5 | 70.5≤x<80.5 | 80.5≤x<90.5 | 90.5≤x<100.5 |
頻數(shù) | 2 | 8 | 10 | 16 | 14 |
(1)組距是 ,組數(shù)是 .
(2)成績在60.5≤x<80.5范圍的頻數(shù)是 .
(3)畫出頻數(shù)分布直方圖.
(4)若成績在80分以上(不含80分)為優(yōu)秀,試估計該校成績優(yōu)秀的有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】山西省平遙縣政府為進一步挖掘“雙林寺、老醯水鎮(zhèn)、平遙古城”的旅游 價值,計劃在2019年開工建設(shè)一條途經(jīng)平遙高鐵站、雙林寺、老醯(讀,醋的意思) 水鎮(zhèn)、平遙古城的“旅游+交通”融合軌道觀光線.甲、乙兩個工程隊計劃參與工程建設(shè),若讓甲隊單獨施工天完成該項工程的,然后乙隊加入,兩隊還需共同施工天,才能完成該項工程.
(1)若乙隊單獨施工,需要多少天才能完成該項工程?
(2)若先讓甲隊施工且甲隊參與該項工程施工的時間不超過天,則乙隊加入后至 少要施工多少天才能完成該項工程?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:平面內(nèi)的直線l1與l2相交于點O,對于該平面內(nèi)任意一點M,點M到直線l1、l2的距離分別為a、b,則稱有序非負實數(shù)對(a,b)是點M的“距離坐標(biāo)”,根據(jù)上述定義,距離坐標(biāo)為(2,1)的點的個數(shù)有( 。
A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把多塊大小不同的30°直角三角板如圖所示,擺放在平面直角坐標(biāo)系中,第一塊三角板AOB的一條直角邊與y軸重合且點A的坐標(biāo)為(0,1),∠ABO=30°;第二塊三角板的斜邊BB1與第一塊三角板的斜邊AB垂直且交y軸于點B1;第三塊三角板的斜邊B1B2與第二塊三角板的斜邊BB1垂直且交x軸于點B2;第四塊三角板的斜邊B2B3與第三塊三角板的斜邊B1B2C垂直且交y軸于點B3;…按此規(guī)律繼續(xù)下去,則點B2017的坐標(biāo)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)已知3x=2y=5z≠0,求的值;
(2)某市政工程計劃將安裝的路燈交給甲、乙兩家燈飾廠完成,已知甲廠生產(chǎn)100個路燈與乙廠生產(chǎn)150個路燈所用時間相同,且甲廠比乙廠每天少生產(chǎn)10個路燈,問甲、乙兩家工廠每天各生產(chǎn)路燈多少個?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某屆世界杯足球賽即將開幕,某媒體足球欄目從參加世界杯的球隊中選出五支傳統(tǒng)強隊:意大利隊、德國隊、西班牙隊、巴西隊、阿根廷隊,對哪支球隊最有可能獲得冠軍進行了問卷調(diào)查,為了使調(diào)查結(jié)果有效,每位被調(diào)查者只能填寫一份問卷,在問卷中必須選擇這五支球隊中的一隊作為調(diào)查結(jié)果.從收集到的4800份有效問卷中隨機抽取部分問卷進行統(tǒng)計,繪制了統(tǒng)計圖表的一部分如下:
根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)a= ,b= ;
(2)根據(jù)以上信息,請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請你估計在提供有效問卷的這4800人中有多少人預(yù)測德國隊最有可能獲得冠軍.
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