Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＞AC，⊙O為△ABC的外接圓，以點(diǎn)C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作弧交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE、DE．
（1）求∠DEB的度數(shù)；
（2）若直線DE交⊙0于點(diǎn)F，判斷點(diǎn)F在半圓AB上的位置，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）連接CE、BD，
∵∠BDE與∠ECB所對(duì)的弧都為弧EB，
∴∠BDE=∠ECB，
同理：∠DBE=∠ECD，
∴∠BDE+∠DBE=∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠BDE+∠DBE=45°，
∴∠DEB=180°-（∠BDE+∠DBE）=135°；

（2）F為弧AB中點(diǎn)．
理由：連接BF，由（1）知∠DEB=135°，
∴∠ABF=45°，
∴=，
即F為弧AB中點(diǎn)．
分析：（1）首先連接CE、BD，由圓周角定理可得：∠BDE=∠ECB，∠DBE=∠ECD，則可求得∠BDE+∠DBE=45°，繼而求得∠DEB的度數(shù)；
（2）由（1）知∠DEB=135°，即可得∠BEF=45°，則可知弧FB=弧AB；即F為弧AB中點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理以及弧與圓心角的關(guān)系．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．