Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點O為坐標原點，點B的坐標為（4，3），點A、C在坐標軸上，點P在BC邊上，直線l1：y=2x+3，直線l2：y=2x﹣3．

（1）分別求直線l1與x軸，直線l2與AB的交點坐標；
（2）已知點M在第一象限，且是直線l2上的點，若△APM是等腰直角三角形，求點M的坐標；
（3）我們把直線l1和直線l2上的點所組成的圖形為圖形F．已知矩形ANPQ的頂點N在圖形F上，Q是坐標平面內的點，且N點的橫坐標為x，請直接寫出x的取值范圍（不用說明理由）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：直線l1：當y=0時，2x+3=0，x=﹣

則直線l1與x軸坐標為（﹣ ，0）

直線l2：當y=3時，2x﹣3=3，x=3

則直線l2與AB的交點坐標為（3，3）；

（2）

解：①若點A為直角頂點時，點M在第一象限，連結AC，

如圖1，

∠APB＞∠ACB＞45°，

∴△APM不可能是等腰直角三角形，

∴點M不存在；

②若點P為直角頂點時，點M在第一象限，如圖2，

過點M作MN⊥CB，交CB的延長線于點N，

則Rt△ABP≌Rt△PNM，

∴AB=PN=4，MN=BP，

設M（x，2x﹣3），則MN=x﹣4，

∴2x﹣3=4+3﹣（x﹣4），

x= ，

∴M（ ， ）；

③若點M為直角頂點時，點M在第一象限，如圖3，

設M1（x，2x﹣3），

過點M1作M1G1⊥OA，交BC于點H1，

則Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，

∴AG1=M1H1=3﹣（2x﹣3），

∴x+3﹣（2x﹣3）=4，

x=2

∴M1（2，1）；

設M2（x，2x﹣3），

同理可得x+2x﹣3﹣3=4，

∴x= ，

∴M2（ ， ）；

綜上所述，點M的坐標為（ ， ），（2，1），（ ， ）；

（3）

解：x的取值范圍為﹣ ≤x＜0或0＜x≤ 或 ≤x≤ 或 ≤x≤2．

【解析】考查了四邊形綜合題，涉及的知識點有：坐標軸上點的坐標特征，等腰直角三角形的性質，矩形的性質，分類思想的應用，方程思想的應用，綜合性較強，有一定的難度．（1）根據坐標軸上點的坐標特征可求直線l1與x軸，直線l2與AB的交點坐標；（2）分三種情況：①若點A為直角頂點時，點M在第一象限；若點P為直角頂點時，點M在第一象限；③若點M為直角頂點時，點M在第一象限；進行討論可求點M的坐標；（3）根據矩形的性質可求N點的橫坐標x的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰三角形的性質和矩形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．