【題目】點A,B的坐標分別為(-2,3)和(1,3),拋物線y=ax2+bx+c(a<0)的頂點在線段AB上運動時,形狀保持不變,且與x軸交于C,D兩點(C在D的左側),給出下列結論:①c<3;②當x<-3時,y隨x的增大而增大;③若點D的橫坐標最大值為5,則點C的橫坐標最小值為-5;④當四邊形ACDB為平行四邊形時,a= .其中正確的是( )
A.②④
B.②③
C.①③④
D.①②④

【答案】A
【解析】解:∵點A,B的坐標分別為(-2,3)和(1,3),
∴線段AB與y軸的交點坐標為(0,3),
又∵拋物線的頂點在線段AB上運動,拋物線與y軸的交點坐標為(0,c),
∴c≤3,(頂點在y軸上時取“=”),故①錯誤;
∵拋物線的頂點在線段AB上運動,
∴當x<-2時,y隨x的增大而增大,
因此,當x<-3時,y隨x的增大而增大,故②正確;
若點D的橫坐標最大值為5,則此時對稱軸為直線x=1,
根據(jù)二次函數(shù)的對稱性,點C的橫坐標最小值為-2-4=-6,故③錯誤;
令y=0,則ax2+bx+c=0,
CD2=(- 2-4× = ,
根據(jù)頂點坐標公式,
,
∴CD2= ×(-12)= ,
∵四邊形ACDB為平行四邊形,
∴CD=AB=1-(-2)=3,
=32=9,
解得a= ,故④正確;
綜上所述,正確的結論有②④.
故選:A.

【考點精析】利用二次函數(shù)的性質和平行四邊形的性質對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減;平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分.

練習冊系列答案
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