Question

（14分）如圖，△ABC中，點D是BC中點，連接AD并延長到點E，連接BE。

（1）若要使△ACD≌△EBD，應(yīng)添上條件：__________

（2）證明上題：

（3）在△ABC中，若AB=5.AC=3，可以求得BC邊上的中線AD的取值范圍AD＜4.請看解題過程：

由△ACD≌△EBD得：AD=ED，BE=AC=3，因此AE＜AB+BE，即AE＜8，而AD=AE，

則AD＜4，請參考上述解題方法，可求得AD＞m，則m的值為_______________.

（4）證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。（提示：畫出圖形，寫出已知，求證，并加以證明）

 

Answer 1

（1）如AD=ED（只要條件符合均可以） （2）見解析 （3）m=1

【解析】

試題分析：（1）若要使△ACD≌△EBD，應(yīng)添上條件：AD=ED；

（2）由D為BC的中點，得到BD=CD，再根據(jù)∠ADC=∠EDB，AD=ED利用SAS可得出△ACD≌△EBD；

（3）在三角形ABE中，利用兩邊之差小于第三邊，得到AB-BE小于AE，求出AE大于2，由D為AE的中點，得到AD大于1，從而求出m=1．

（4）作出圖形，然后寫出已知，求證，延長CD到E，使DE=CD，連接AE、BE，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形AEBC是平行四邊形，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得四邊形AEBC是矩形，然后根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得CD=AB．

試題解析：

（1）若要使△ACD≌△EBD，應(yīng)添上條件：AD=ED；

（2）證明：

又∵D為BC的中點，

∴BD=CD，

在△ACD和△EBD中，，

∴△ACD≌△EBD（SAS）；

（3）在△ABE中，AE＞AB-BE=5-3=2，

又∵△ACD≌△EBD，

∴AD=DE=AE，

∴AD＞1

∴m=1．

（4）

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，

求證：CD=AB；

證明：如圖，延長CD到E，使DE=CD，連接AE、BE，

∵CD是斜邊AB上的中線，

∴AD=BD，

∴四邊形AEBC是平行四邊形

∵∠ACB=90°，

∴四邊形AEBC是矩形，

∴AD=BD=CD=DE，

∴CD=AB．

考點：中點的性質(zhì)，三角形全等的判定，直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)