【題目】已知,如圖1在銳角△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于點D,BE⊥AC于點E,BE與AD交于點F.

(1)若BF=5,DC=3,求AB的長;
(2)在圖1上過點F作BE的垂線,過點A作AB的垂線,鏈條垂線交于點G,連接BG,得如圖2.
①求證:∠BGF=45°;
②求證:AB=AG+ AF.

【答案】
(1)解:如圖1中,

∵∠ABC=45°,AD⊥BC,

∴∠ADB=90°,△ADB是等腰直角三角形,

∴AD=BD,

∵BE⊥AC,

∴∠AEF=∠BDF=90°,

∵∠AFE=∠BFD,

∴∠EAF=∠FBD,∵∠BDF=∠ADC=90°,

∴△BDF≌△ADC,

∴DF=DC=3,

在Rt△BDF中,BD= =4,

∴AB= BD=4


(2)①證明:如圖2中,設(shè)AB交GF于O.

∵∠GAO=∠OFB=90°,∠AOG=∠BOF,

∴△AOG≌△FOB,

=

= ,∵∠BOG=∠AOF,

∴△BOG∽△FOA,

∴∠BGO=∠OAF=45°,

∴∠BGF=45°.

②證明:如圖2中,在AB上截取AM=AG,則∠MGA=∠BGF=45°,

∴∠BCM=∠FCA,

∵BC= FG,GM= AC,

= =

∴△BGM∽△FGA,

= = ,

∴BM= AF,

∴AB=AM+BM=AG+ AF.


【解析】①根據(jù)題意得到△ADB是等腰直角三角形,得到AD=BD,得到△BDF≌△ADC,得到DF=DC=3,根據(jù)勾股定理求出BD =4,得到AB= BD=4 ;②在AB上截取AM=AG,則∠MGA=∠BGF=45°,得到∠BCM=∠FCA,得出△BGM∽△FGA,求出BM= AF,求出AB=AM+BM=AG+ AF.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校初三學(xué)生進(jìn)行1500米長跑體能測試,規(guī)定時間6.6分鐘為達(dá)標(biāo)成績,甲、乙兩名同學(xué)的成績分別是5.8分鐘和7.5分鐘;以下表示兩位同學(xué)成績正確的是( 。

A.甲:-0.2,乙:+0.8B.甲:+0.8,乙:+0.9

C.甲:-0.8,乙:+0.9D.甲:+0.9,乙:-0.8

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線直線相交兩點,且拋物線經(jīng)過點.

(1)求拋物線解析式;

(2)點拋物線上的一個動點(不、合),過點直線于點交直線.

當(dāng)點坐標(biāo);

是否存在使為等腰三角形,若存在請直接寫出坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一艘潛水艇所在的海拔高度為﹣50m,若一條鯊魚在潛水艇下方10m處,則鯊魚所在的海拔高度為_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】綜合題如圖,D是BC上一點,若AB=10,AD=8,AC=17,BD=6,求BC的長.

(1)已知:x= +1,y= ﹣1,求 的值;
(2)如圖,D是BC上一點,若AB=10,AD=8,AC=17,BD=6,求BC的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出下列定義:順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形,下列說法:
①如圖①,四邊形ABCD中,點E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點,則中點四邊形EFGH是平行四邊形.
②如圖②,點P是四邊形ABCD內(nèi)一點,且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點,則中點四邊形EFGH是菱形
③在(2)中增加條件∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變,則中點四邊形EFGH是正方形
其中,正確的有( )

A.0個
B.1個
C.2個
D.3個

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在菱形ABCD中,E、F分別在BC和CD上,且△AEF是等邊三角形,AE=AB,則∠BAD等于( )
A.95°
B.100°
C.105°
D.120°

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】只需用兩個釘子就可以把木條固定在墻上,其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是( )

A. 線段有兩個端點 B. 兩點確定一條直線

C. 兩點之間,線段最短 D. 線段可以比較大小

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若|x+2|+(y﹣3)2=0,則xy=

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案