Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是

BD

的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于點F，
（1）求證：CF=BF；
（2）若CD=12，AC=16，求⊙O的半徑和CE的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,勾股定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：

分析：（1）由AB是⊙O的直徑，CE⊥AB，易得∠2=∠A，又由C是

BD

的中點，可得∠1=∠A，即可得∠1=∠2，判定CF=BF；
（2）由C是

BD

的中點，可得BC=CD=12，又由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，即可求得AB的長，然后由三角的面積，求得CE的長．

解答：解：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠2=90°-∠ABC=∠A，
又∵C是弧BD的中點，
∴∠1=∠A，
∴∠1=∠2，
∴CF=BF；

（2）∵C是弧BD的中點，
∴

BC

=

CD

，
∴BC=CD=12，
又∵在Rt△ABC中，AC=16，
∴由勾股定理可得：AB=20，
∴⊙O的半徑為10，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CE，
∴CE=

AC•BC

AB

=9.6．

點評：此題考查了圓周角定理、等腰三角形的判定以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．