Question

你能化簡（a－1 ）(a⁹⁹＋a⁹⁸＋a⁹⁷＋……＋a²＋a＋1) 嗎？我們不妨先從簡單情況入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納結論．
（1 ）先填空：（a－1 ）(a＋1)=             ；(a－1)(a²＋a＋1)=           ；
           (a－1)(a³＋a²＋a＋1)=                ；……      
           由此猜想(a－1) (a⁹⁹＋a⁹⁸＋a⁹⁷＋……＋a²＋a＋1)=                          ．
（2 ）利用這個結論，你能解決下面兩個問題嗎？      
           ①2¹⁹⁹＋2¹⁹⁸＋2¹⁹⁷＋……＋2²＋2 ＋1 ；      
           ②若a⁵＋a⁴＋a³＋a²＋a＋1=0 ，則a⁶等于多少？

Answer 1

解：根據(jù)題意：
（1 ）（a-1）（a+1）=a²-1 ；
           （a-1）（a²+a+1）=a³-1 ；
           （a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1 ；
       故（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+ …+a+1）=a¹⁰⁰-1 ；
（2）利用（1）所得出的結論：
           ①2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+ …+2+1= （2-1）（2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+ …+2+1）=2²⁰⁰-1 ；
           ②a⁵+a⁴+a³+a²+a+1=（a－1）（a⁵+a⁴+a³+a²+a+1）=a⁶－1=0，
           故a⁶=1．