Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（-1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，且交y軸于點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）在圖中畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，點(diǎn)M為此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，試確定△MCD的形狀．（寫(xiě)出理由）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入y=x²+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出這個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中的解析式，可求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知條件，可知拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（3，0），分別在坐標(biāo)系中描出這幾個(gè)點(diǎn)，用平滑曲線(xiàn)連接即可作出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)題意，首先求得點(diǎn)C，D，M的坐標(biāo)，即可求得CD，CM，DM的長(zhǎng)，然后由勾股定理的逆定理，可確定△MCD是直角三角形，又由CM=DM，即可得出△MCD的形狀是等腰直角三角形．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（-1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，
∴

1-b+c=0 9+3b+c=0

，
解得：

b=-2 c=-3

，
故此二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3，
∴與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，-4），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1．
圖象如右所示：

（3）△MCD是等腰直角三角形．理由如下：
∵C（0，-3），
∴點(diǎn)D（2，-3），
∵M(jìn)（1，-4），
∴CD=2，CM=

2

，DM=

2

，
∴CD²=CM²+DM²，CM=DM，
∴△MCD的形狀為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，拋物線(xiàn)的畫(huà)法以及勾股定理的逆定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．