Question

【題目】如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為(m，n)（m＜0，

n＞0），E點在邊BC上，F點在邊OA上．將矩形OABC沿EF折疊，點B正好與點O重合，雙曲線過點E.

(1) 若m＝－8，n ＝4，直接寫出E、F的坐標；

(2) 若直線EF的解析式為，求k的值；

(3) 若雙曲線過EF的中點，直接寫出tan∠EFO的值.

Answer 1

【答案】（1）E(－3，4)、F(－5，0)；（2）；（3）.

【解析】

(1) 連接OE,BF,根據(jù)題意可知：設則根據(jù)勾股定理可得：即解得：即可求出點E的坐標，同理求出點F的坐標.

(2) 連接BF、OE，連接BO交EF于G由翻折可知：GO＝GB，BE＝OE，證明△BGE≌△OGF，證明四邊形OEBF為菱形，令y＝0，則，解得 ， 根據(jù)菱形的性質(zhì)得OF=OE=BE=BF=令y＝n，則，解得 則CE=，在Rt△COE中， 根據(jù)勾股定理列出方程，即可求出點E的坐標，即可求出k的值；

(3) 設EB=EO=x，則CE=－m－x，在Rt△COE中，根據(jù)勾股定理得到(－m－x)2＋n2＝x2，解得，求出點E()、F()，根據(jù)中點公式得到EF的中點為()，將E()、()代入中，得，得m2＝2n2

即可求出tan∠EFO＝.

解：(1)如圖：連接OE,BF,

E(－3，4)、F(－5，0)

(2) 連接BF、OE，連接BO交EF于G由翻折可知：GO＝GB，BE＝OE

可證：△BGE≌△OGF（ASA）

∴BE＝OF

∴四邊形OEBF為菱形

令y＝0，則，解得 ，∴OF=OE=BE=BF=

令y＝n，則，解得 ∴CE=

在Rt△COE中，，

解得

∴E()

∴

(3) 設EB=EO=x，則CE=－m－x，

在Rt△COE中，(－m－x)2＋n2＝x2，解得

∴E()、F()

∴EF的中點為()

將E()、()代入中，得

，得m2＝2n2

∴tan∠EFO＝