Question

如圖，P為正方形ABCD外一點(diǎn)，且∠PAD=∠PBC=15°，求證：△PDC為等邊三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),等邊三角形的判定

專題：證明題

分析：在△PAB內(nèi)部作∠PAE=∠PBE=15°，連接PE，求出∠ABE=∠BAE=60°，判斷出△ABE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形和等腰三角形的對(duì)稱性求出∠PEA=150°，利用“邊角邊”證明△PAD和△PAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠PDA=∠PEA，再求出∠PDC=60°，同理可得∠PCD=60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法證明即可．

解答：證明：如圖，在△PAB內(nèi)部作∠PAE=∠PBE=15°，連接PE，
∵∠PAD=∠PBC=15°，
∴∠ABE=∠BAE=90°-15°×2=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE=AB=AD，∠AEB=60°，
∵∠PAB=∠PBA=90°-15°=75°，
∴PA=PB，
∴PE在AB的垂直平分線上，
∴∠PEA=

1

2

（360°-60°）=150°，
在△PAD和△PAE中，

AD=AE ∠PAD=∠PAE=15° AP=AP

，
∴△PAD≌△PAE（SAS），
∴∠PDA=∠PEA=150°，
∴∠PDC=150°-90°=60°，
同理可得∠PCD=60°，
∴△PDC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出等邊三角形和全等三角形．