Question

(12分)如圖，點A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函數的圖象上．   
（1）求m，k的值； 
（2）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，
以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形， 
試求直線MN的函數表達式．  

Answer 1

解：（1）由題意可知，．
解，得 m＝3．        ………………………………3分
∴ A（3，4），B（6，2）；
∴ k＝4×3=12．    ……………………………4分
（2）存在兩種情況，如圖： 
①當M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸
上時，設M₁點坐標為（x₁，0），N₁點坐標為（0，y₁）．
∵ 四邊形AN₁M₁B為平行四邊形，
∴ 線段N₁M₁可看作由線段AB向左平移3個單位，
再向下平移2個單位得到的（也可看作向下平移2個單位，再向左平移3個單位得到的）．
由（1）知A點坐標為（3，4），B點坐標為（6，2），
∴ N₁點坐標為（0，4－2），即N₁（0，2）；     
M₁點坐標為（6－3，0），即M₁（3，0）．      
設直線M₁N₁的函數表達式為，把x＝3，y＝0代入，解得．
∴ 直線M₁N₁的函數表達式為．
②當M點在x軸的負半軸上，N點在y軸的負半軸上時，設M₂點坐標為（x₂，0），N₂點坐標為（0，y₂）． 
∵ AB∥N₁M₁，AB∥M₂N₂，AB＝N₁M₁，AB＝M₂N₂，
∴ N₁M₁∥M₂N₂，N₁M₁＝M₂N₂．   
∴ 線段M₂N₂與線段N₁M₁關于原點O成中心對稱．     
∴ M₂點坐標為（-3，0），N₂點坐標為（0，-2）．   
設直線M₂N₂的函數表達式為，把x＝-3，y＝0代入，解得，
∴ 直線M₂N₂的函數表達式為． 　　 
所以，直線MN的函數表達式為或． 

解析