Question

寧海中學(xué)高一段組織了圍棋比賽，共有10名選手進入了決賽，決賽階段實行單循環(huán)賽（即每兩名參賽選手都要賽一局，且每局比賽都決出勝負），若一號選手勝a₁局，輸b₁局；二號選手勝a₂局，輸b₂局，…，十號選手勝a₁₀局，輸b₁₀局．試比較a₁²+a₂²+…+a₁₀²與b₁²+b₂²+…+b₁₀²的大小，并敘述理由．

Answer 1

依題意可知，a₁+b₁=9，a₂+b₂=9，a₃+b₃=9…，
且a₁+a₂+…+a₁₀=b₁+b₂+…+b₁₀=45，
∴（a₁²+a₂²+…+a₁₀²）-（b₁²+b₂²+…b₁₀²）=（a₁²-b₁²）+（a₂²-b₂²）+…+（a₁₀²-b₁₀²）
=（a₁+b₁）（a₁-b₁）+（a₂+b₂）（a₂-b₂）+…+（a₁₀+b₁₀）（a₁₀-b₁₀）
=9[（a₁+a₂+…+a₁₀）-（b₁+b₂+…+b₁₀）]
=0，
∴a₁²+a₂²+…+a₁₀²=b₁²+b₂²+…b₁₀²．