Question

如圖，已知⊙O上依次有A、B、C、D四個點，

AD

=

BC

，連接AB、AD、BD，弦AB不經(jīng)過圓心O，延長AB到E，使BE=AB，連接EC，F(xiàn)是EC的中點，連接BF．
（1）若⊙O的半徑為3，∠DAB=120°，求劣弧

BD

的長；
（2）求證：BF=

1

2

BD；
（3）設(shè)G是BD的中點，探索：在⊙O上是否存在點P（不同于點B），使得PG=PF？并說明PB與AE的位置關(guān)系．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）利用圓心角定理進(jìn)而得出∠BOD=120°，再利用弧長公式求出劣弧

BD

的長；
（2）利用三角形中位線定理得出BF=

1

2

AC，再利用圓心角定理得出

DAB

=

CBA

，進(jìn)而得出BF=

1

2

BD；
（3）首先過點B作AE的垂線，與⊙O的交點即為所求的點P，得出BP⊥AE，進(jìn)而證明△PBG≌△PBF（SAS），求出PG=PF．

解答：（1）解：連接OB，OD，
∵∠DAB=120°，∴

BCD

所對圓心角的度數(shù)為240°，
∴∠BOD=360°-240°=120°，
∵⊙O的半徑為3，
∴劣弧

BD

的長為：

120

180

×π×3=2π；

（2）證明：連接AC，
∵AB=BE，∴點B為AE的中點，
∵F是EC的中點，∴BF為△EAC的中位線，
∴BF=

1

2

AC，
∵

AD

=

BC

，
∴

AD

+

AB

=

BC

+

AB

，
∴

DAB

=

CBA

，
∴BD=AC，
∴BF=

1

2

BD；

（3）解：過點B作AE的垂線，與⊙O的交點即為所求的點P，
∵BF為△EAC的中位線，
∴BF∥AC，
∴∠FBE=∠CAE，
∵

AD

=

BC

，
∴∠CAB=∠DBA，
∵由作法可知BP⊥AE，
∴∠GBP=∠FBP，
∵G為BD的中點，
∴BG=

1

2

BD，
∴BG=BF，
在△PBG和△PBF中，

BG=BF ∠PBG=∠PBF BP=BP

，
∴△PBG≌△PBF（SAS），
∴PG=PF．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)和弧長公式以及圓心角定理等知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．