Question

如圖，⊙O的弦AB⊥CD于E，OF⊥CD于F，且OF=2，OE=4，OA=．
（1）求AB的長；
（2）求BE的長．

Answer 1

解：（1）過點O作OG⊥AB于G，連接OA，則AG=BG=AB，
∵OF⊥CD，AB⊥CD，
∴∠OGE=∠OFE=∠FEG=90°，
∴四邊形OFEG是矩形，
∴OG=EF，EG=OF，
在Rt△OEF中，EF===2
∴OG=2，
在Rt△OAG中，AG===，
∴AB=2．

（2）∵由（1）得，四邊形OFEG是矩形，
∴EG=OF=2，
∵由（1）得，BG=AG=AB=×2=，
∴BE=BG-EG=-2．
分析：（1）過點O作OG⊥AB于G，連接OA，則AG=BG=AB，再根據(jù)OF⊥CD，AB⊥CD可知四邊形OFEG是矩形，再在Rt△OEF、Rt△OAG中利用勾股定理可求出EF及AG的長，故可得出AB的長；
（2））由（1）得，四邊形OFEG是矩形，所以EG=OF=2，再由由（1）得，BG=AG=AB可得出BG的長，再根據(jù)BE=BG-EG即可得出結(jié)論．
點評：本題考查的是垂徑定理、勾股定理及矩形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出矩形及直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．