Question

【題目】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E是邊CD的中點，AE的垂直平分線交邊BC于點G，交邊AE于點F，連接DF，EG，以下結論：①DF= ，②DF∥EG，③△EFG≌△ECG，④BG= ，正確的有：（填寫序號）

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：如圖，設FG交AD于M，連接BE．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=4，∠ADC=∠C=90°，

∵DE=EC=2，

在Rt△ADE中，AE= = =2 ．

∵AF=EF，

∴DF= AE= ，故①正確，

易證△AED≌△BEC，

∴∠AED=∠BEC，

∵DF=EF，

∴∠FDE=∠FED=∠BEC，

∴DF∥BE，

∵BE與EG相交，

∴DF與EG不平行，故②錯誤，

∵AE⊥MG，易證AE=MG=2 ，

由△AFM∽△ADE，可知 = ，

∴FM= ，F(xiàn)G= ，

在Rt△EFG中，EG= = ，

在Rt△ECG中，CG= = ，

∴BG=BC﹣CG=4﹣ = ，故④正確，

∵EF≠EC，F(xiàn)G≠CG，∴△EGF與△EGC不全等，故③錯誤，

所以答案是①④．

【考點精析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．